5.4 – H-R diagram – astronomi.androide.dk

Hertzsprung-Russel (H-R) diagrammet, er en graf med to specifikke egenskaber for mange stjerner, men den organiserer og opsummerer mange andre egenskaber for stjerner, så det er god brug af din tid, at komme til at forstå det fuldt ud. Det er den mest almindelige graf, i et hvert astronomistudieretning, som relaterer sig til stjerner; det er også ualmindelig brugbart, i afsløring af mønstrene for mange forskellige egenskaber for stjerner, i en simpel graf, og formålet med dette afsnit er, at hjælpe dig med at komme til at forstå og fortolke grafen. Aflæsning af en graf, er en vigtig matematisk evne, så selvom du ikke kommer til at foretage mange numeriske beregninger i dette afsnit, vil du stadig være engageret i kvantitativ ræsonnement, hvilket er mindst lige så vigtigt, som at kunne udføre aritmetiske og algebraiske opterationer.

Hver prik i et H-R diagram som det i figur 5.5, repræsenterer en individuel stjerne. Begrebet ”diagram” i andre henseender, refererer ofte til en tegning eller et billede, men H-R diagrammet, er faktisk en graf.

Du skal forstå, at egenskaberne for de fleste stjerner, forbliver de samme for en stor del af deres liv, og derfor, forbliver en stjernes placering i H-R diagrammet, også den samme for det meste af dens liv. For de fleste stjerner, befinder den lokation sig i en bred stribe, som går fra øverst til venstre til nederst til højre i diagrammet; dette kaldes for ”hovedserien”, og den indeholder de fleste af stjernerne der er indtegnet på H-R diagrammet i figur 5.5. De få stjerner der ikke befinder sig i hovedserien, befinder sig hovedsageligt i regionerne i enten den øverste del af diagrammet, kaldet ”røde kæmper”, eller i den nederste venstre del af diagrammet, kaldet ”hvide dværge”.

De to egenskaber der er direkte afbildet på H-R diagrammet, er luminositet (L) og temperatur (T). Der er dog tre andre stjerneegenskaber, som kan bestemmes ud fra H-R diagrammet, selvom de ikke forekommer på x– eller y-aksen. Disse egenskaber er radius (R), levetid (l), og masse (M). En årsag til, at H-R diagrammet er så anvendeligt et værktøj i astronomi er, at det repræsenterer alle disse fem fundamentale stjerneegenskaber i en kompakt graf. Hver af disse egenskaber ser vi på i dette afsnit, men vi starter med at sikre, at du har en god forståelse af konceptet solenheder.

5.4.1 – Solenheder

Hvis du læser, at en bestemt stjerne har en masse på 6 x 10³⁰ kg, hvad kan du så bruge set til? Er det en stor masse, i forhold til stjerner? Mange mængder du vil støde på i astronomi, involverer tal der er så store, at de er meningsløse selv for professionelle astronomer. For at kunne udtrykke fysiske mængder mere intuitivt, har astronomerne fastsat et sæt af ”solcentrerede” enheder, som anvender Solens egenskaber som reference. Da vores Sol er en gennemsnitsstjerne, udgør det en bekvem reference. Det nedsænkede B anvendes ofte til at indikere en parameter vedrører Solen, så ”M $\bigodot$ ” og ”M_Solen”, refererer begge til Solens masse. Nøglen til at forstå solenheder er, at indse, at Solens egenskaber, kan anvendes som grundenheden i hvilken, egenskaber for andre stjerner udtrykkes.

De tre mest almindelige enheder som refererer til Solens egenskaber, er solluminositet (L_B, eller L_Solen), solradiusser (R $\bigodot$ , eller R_Solen), og solmasser (M $\bigodot$ , eller M_Solen). En mængde af hver af disse enheder, er defineret som Solens værdi for den mængde. For eksempel, da solens masse er cirka
2 x 10³⁰ kg, kan den ækvivalens bruges som en konverteringsfaktor: 1 M $\bigodot$ ↔ 2 x 10³⁰ kg, eller ”en solmasse er lig med 2 x 10³⁰ kg”. Konvertering til og fra solmasser, er en ret ligetil konverteringsopgave. For eksempel den hypotetiske stjerne, som vi refererede til i begyndelsen med en masse på 6 x 10³⁰ kg, kan alternativt blive udtrykt som:

$M_{stjerne}=6\cdot 10^{30}\; kg=6\cdot 10^{30}\; kg\cdot \left ( \frac{1\; M_{\bigodot }}{2\cdot 10^{30}\; kg} \right )=3 M_{\bigodot }$

hvilket betyder, at den stjerne har en masse der er tre gange Solens masse.

Hvis brugen af solenheder synes ukendt for dig, kan følgende analogi nok hjælpe dig. Du kunne vælge at udtrykke højden på andre ting, i et begreb relateret til din egen højde (hvilken du kunne kalde h_dig). Dette gør det muligt for dig, øjeblikkeligt, at vide om en ting er højere eller lavere end dig, og med hvilken faktor. For eksempel, kan en olympisk gymnast have en højde der er 0,9 h_dig, og et højhus, har måske en højde på 230 h_dig. Ved at anvende disse enheder, bliver det med det samme klart, at gymnasten er lidt mindre end dig, og at højhuset er større end dig. I sær for højhuset, hvis højde er meget forskellig fra din egen højde, giver brugen af disse egocentriske enheder dig en meget bedre fornemmelse af dets højde, end at sige at højhuset er 380.000 mm højt. Ligeledes, gør det at udtrykke den hypotetiske stjerne som en 3 M_B i stedet for 6 x 10³⁰ kg, mængden mere meningsfuld. Udtrykt i solenheder, kan du med det samme se, at denne stjerne har en masse der er nogle gange større end Solen masse.

Her er ækvivalensværdierne for de mest almindelige solenheder:

1 solmasse ↔ 2 x 10³⁰ kg
1 solluminositet ↔ 4 x 10²⁶ W
1 solradius ↔ 6,96 x 10⁵ km

5.4.2 – Luminositets-, og temperaturakserne

Akserne på H-R diagrammet, repræsenterer to fundamentale og observerbare egenskaber for stjerner: luminositet (hvor lysstærk stjernen er), og overflade temperatur (hvor varm stjernen er på overfladen, hvilket er den eneste del af stjernen vi kan se direkte). Fra nu af, vil stjerne ”temperatur” referere til ”overfladetemperatur” med mindre der specifikt nævnes noget andet. Luminositeten (med enheden watt eller L $\bigodot$ ), er afbildet langs y-aksen i standarddiagrammet, med de mindste værdier i bunden, og de største i toppen.

Temperatur, er repræsenteret på x-aksen, og er i standard SI enheden kelvin (K). Den mest almindelige udgave af H-R diagrammet, viser den på en usædvanlig måde, ved at have de højeste værdier mod venstre, i stedet mod højre som de fleste grafer: temperaturen stiger altså mod venstre og falder mod højre.

Eksempel 5.4.1: Af de fem stjerner mærket med A til og med E i figur 5.5, hvilken er så den klareste, hvilken er den svageste, hvilken er den varmeste og hvilken er den koldeste?

Da luminositeten er afbildet på y-aksen, er den klareste stjerne den, med den største y-værdi tættest på toppen af grafen: punkt A. Den svageste er modsat, den med den laveste y-værdi mod bunden: punkt E. Da temperaturen er afbildet på x-aksen med de største værdier mod venstre og de laveste mod højre, der den varmeste stjerne den der tættest på den venstre side af grafen (punkt A), og den koldeste er den længst mod højre (punkt E).

Bemærk i figur 5.5, at de numeriske værdier på akserne, dækker over et kæmpe span. Luminositet i særdeleshed, dækker over 12 størrelsesklasser. For at kunne vise en denne store skala på en akse, og for at undgå alle punkterne klumper sig sammen i den ene ende af aksen, er det en almindelig praksis i mange felter af videnskaben, at bruge en ”logaritmisk skala” eller at sprede tallene logaritmisk. Denne tilgang, bruger en lige spredning for hver multiplikativ faktor af hele tal (som for eksempel 10, 100, 1.000, eller 2, 4, 8), i stedet for at bruge lige spredte fortløbende tal (som for eksempel 10, 11, 12). Ti bruges ofte som den multiplikative faktor (hvilket gør skalaen til en ”log-10 skala”); du kan se dette i praksis, ved at kigge på skalaen for luminositetens (den lodrette) akse på figur 5.5. På denne akse, er hvert stort mærke: ¹/_100.000. ¹/_10.000, ¹/_1.000, ¹/₁₀₀, ¹/₁₀, 1, 10, 100, … up til 10.000.000. Selvom 10 er den mest anvendte multiplikative faktor på en logaritmisk skalaakse, bruges en multiplikativ faktor på 2 sommetider (hvilket gør det til en ”log-2 skala”). Du kan se dette i praksis på temperaturens (den vandrette) akse i figur 5.5, hvor hvert stort mærke repræsenterer til tal, der er to gange større end det forrige (mod højre) mærke: 2.500, 5.000, 10.000, 20.000, 40.000. Husk, at H-R diagrammets x-akse har temperaturen stigende mod venstre.

Eksempel 5.4.2: Aflæs luminositeten og temperaturen fra grafen, for hver af stjernerne markeret i H-R diagrammet i figur 5.5

Dette eksempel, har til hensigt at gøre dig vant til, at aflæse logaritmiske akser. For hvert punkt, forestil dig at tegne en vandret og lodret linje gennem punktet, og fastslå hvor disse linjer skærer x– og y-akserne. Det kan hjælpe dig, at holde en lineal, eller et stykke papir vandret og lodret gennem punktet, for at se hvor akserne skæres af punktet.

Når du aflæser mellem de afmærkede værdier, så vær sikker på at udlede værdien af hvert mellemliggende mærke. Ved at se hvor mange intervaller der er, og kig på de omkringliggende værdier. For eksempel på x-aksen, er der mellem temperaturerne 2.500 K og 5.000 K fem mærker (defineret af fire mindre mærker), der spænder fra 2,500 K til 5.000 K, en afstand på 2.500 K. Fordi intervallerne har samme værdi, repræsenterer hver af dem 2.500K/5 = 500 K per interval. Bemærk også, at intervallerne ikke er har ens afstand mellem dem, da det er en logaritmisk skala og ikke en lineær skala. Så stjernen markeret med ”E”, med en y-værdi et mærke over 2.500 K, har altså en temperatur på 3.000 K, og stjerne ”B” har en temperatur to mærker under 5.000 K, hvilket svarer til 4.000 K.

Du skal også bemærke, at intervallerne repræsenterer større forskelle, efterhånden som du bevæger dig op af temperaturskalaen. For eksempel går de næste mærker fra 5.000 K til 10.000 K, og har også fem mellemliggende intervaller, men de spænder nu over 10.000 K – 5.000 K = 5.000 K, så hvert mellemliggende mærke repræsenterer altså 5.000K/5 = 1.000 K. Dette er dobbelt så stort interval som ved det foregående interval mellem to intervaller. Sådan er det også med det næste interval (10.000 K til 20.000 K), her er hvert mellemliggende interval på 2.000 K, hvilket igen er dobbelt så stort som det foregående interval. Stjerne ”C” ligger i dette interval, og dens temperatur er omkring to mærker under 20.000 K, hvilket betyder, at dens temperatur er omkring 16.000 K. Udledning af intervallerne på y-aksen fungerer på samme måde, men du vil her finde 9 intervaller (8 streger) i hvert interval. Så mærkerne mellem værdierne 1 og 10, repræsenterer værdierne 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, og 9 L $\bigodot$ . Men mellem værdierne 100 og 1.000, repræsenterer mærkerne 200, 300, 400, 500, 600, 700, og 900 L $\bigodot$ . Stjerne ”B” falder inde i dette interval, cirka ved det fjerde mærke over 100, så dens luminositetsværdi, er omkring 500 L $\bigodot$ .

Et resume af alle parametre og de fem navngivne stjerner i figur 5.5, kan ses i tabel 5.2.

Tabel 5.2 – Parametre for stjernerne i figur 5.5

Stjerne	Mærke	Temperatur (K)	Luminositet (L)
Beta Centauri	A	25.000	40.000
Aldebaran	B	4.000	500
40 Eridani B	C	16.000	0,01
Agol	D	9.000	100
Groombridge	E	3.000	0,0004

5.4.3 – Stjerneradius

Selvom en stjernes radius ikke er angivet på nogen af akserne i H-R diagrammet, varierer den ikke desto mindre på en meget forudsigelig måde på grafen. Årsagen til det er, at en stjernes radius er intimt forbundet med dens luminositet og temperatur, som er de værdier, der bestemmer stjernens placering på H-R diagrammet. Ligning 3.9 viser denne relation som L ∝ R²·T⁴ der betyder, at for enhver given temperatur, har en stjerne med større radius også en større luminositet. Ligeledes for enhver given radius, har stjerner med en højere temperatur en større luminositet.

For at se hvordan radiussen varierer i H-R diagrammet, er det lærerigt at omarrangerer denne relation, så ligningen løses i forhold til R²:

$R^{2}\propto \frac{L}{T^{4}}$

(5.19)

Du ville tage kvadratroden på begge sider, for at få R i første størrelsesorden (R ∝ √(L/T⁴)), men det er ikke nødvendigt, for at forstå hvordan man estimerer en stjernes radius ud fra H-R diagrammet.

I ligning 5.19 herover, kan du se at R og L variere på samme måde, og at R og T varierer på en omvendt måde – om end i forskellige størrelsesordener. Det betyder, at hvis temperaturen er den samme, betyder en større L-værdi, en større R-værdi. Det giver mening fordi, hvis to stjerner har den samme temperatur, men den ene er mere luminøs end den anden, så skal den mere luminøse stjerne være større. Ligeledes er det hvis to stjerner har den samme luminositet, men den ene er varmere end den anden, så skal den varmeste stjerne være mindre.

Hvilke implikationer har denne analyse så for H-R diagrammet? Tænk på det på denne måde: for at finde stjerner med en stor radius R, kig efter stjerner med høje luminositeter og lav temperatur. Sådanne stjerner befinder sig i den øverste højre del af diagrammet. Omvendt, for at finde stjerner med en lille radius, kig efter stjerner med en høj temperatur men lille luminositet. Disse stjerner befinder sig i den nederste venstre del af diagrammet. Regionerne med store og små radiusser, er vist i figur 5.6. Ovenstående forklarer hvorfor de største stjerner – røde kæmper – findes i den øverste højre del af diagrammet, og hvorfor de mindste stjerner – hvide dværge – befinder sig i den nederste venstre del af diagrammet.

Figur 5.6 – Et H-R diagram, hvor retningen for stigende radius er angivet.

Hvad så med den øvre venstre del og den nedre højre del af diagrammet? Og hvad med den midterste del for den sags skyld? Hvordan hænger radiusserne for disse stjerner sammen? Da de stjerner der ligger i regionen mellem de ekstreme små og store radiusser, har de en mellemliggende radius. Sådanne stjerner kan have mellemliggende værdier for både L og T nær den centrale del af diagrammet, eller store værdier af både L og T i den øverste venstre del, eller små værdier for både L og T i nederste højre del af diagrammet. Det er derfor at linjerne der definerer radius, løber på tværs af diagrammet, tilnærmelsesvis fra øverste venstre side, til nederste højre side i H-R diagrammet, og er vinkelrette på retningen af stigende radius. Adskillige linjer der definerer en konstant radius, er vist i figur 5.6, som stiplede linjer.

Eksempel 5.4.3: ranger stjerne markeret i H-R diagrammet i figur 5.5, sorteret efter stigende størrelse:

Da radius stiger fra nederst til venstre mod øverst til højre, er den mindste stjerne nederst til venstre: C. Den største stjerne er øverst til højre: B. Mellem disse ekstremer, har stjernerne A, D, og E tilsvarende radiusser. Men hvis du kigger nøje på linjerne med konstant radius der er tegnet i figur 5.6, kan du se at den nedre ende af hovedserien, nogenlunde falder sammen med linjen for konstant radius på R = 0,1 R $\bigodot$ . Modsat er det med den øvre ende af hovedserien, der falder sammen med en konstant radiuslinje på R = 10 R $\bigodot$ , og centrum af hovedserien, falder imellem de to, nær linjen for R = 1 R $\bigodot$ . Derfor har stjernen E en mindre radius, stjerne D lidt større, og stjerne A yderligere lidt større radius. Så rækkefølgen af alle fem stjerner fra mindst til størst er: C < E < D < A < B.

5.4.4 – Hovedseriestjerner

Den egenskab som er mest ansvarlig for at fastslå alle andre karakteristika for hovedseriestjerner, er deres masse. Stjerner med højere masse, har stærkere tyngdekraft, og opnår derfor større temperaturer i deres kerner. Da fusion kun forekommer i kernen, betyder højere kernetemperaturer også højere fusionshastigheder, og dette leder til højere luminositet. Et kig på figur 5.5 og 5.6 viser i øvrigt, at luminositet og overfladetemperatur også er sammenhængende for hovedseriestjerner, fordi stjernerne med højest masse, også har de højeste overfladetemperaturer. Hvis masse er højere, er de observerbare parametre luminositet og overfladetemperatur, også højere. Forholdet mellem masse og temperatur, kan ikke defineres med en simpel ligning, men det at vide, at en højere masse betyder højere temperatur og luminositet, gør det muligt for dig, at anvende et kvantitativ ræsonnement, som følgende eksempel illustrerer:

Eksempel 5.4.4: Sorter de markerede stjerner i figur 5.5 efter stigende masse

Da massen for hovedseriestjerner varierer på samme måde som luminositet og temperatur ved du, at stjernen med den laveste T og mindste L (tættest på bunden i højre side af H-R diagrammet), og må have den mindste masse: Stjerne E. På samme måde, må stjernen med den højeste T og største L (tættest på toppen i venstre side af H-R diagrammet), må have den største masse: stjerne A. Stjerne D er imellem de to. Så den endelige rækkefølge bliver: E < D < A. Du kan ikke inkluderer stjerne C og B, fordi de ikke er hovedseriestjerner, så de følger ikke denne relation.

Nogle astronomitekster citerer et kvantitativt forhold mellem hovedseriestjerners masse og luminositet lige dette:

$L\propto M^{3,5}$

(5.20)

hvilket indikerer at stjerner med større masse, også har højere luminositet. Bemærk at eksponenten 3,5 i ligning 5.20 kun er en tilnærmelse; værdien af eksponenten i det forhold, varierer mellem 3,0 og 4,0 for forskellige regioner af hovedserien. Vi vil anvende 3,5 som et fornuftigt gennemsnit for alle hovedseriestjerner, men vær opmærksom på, at andre astronomibøger kan bruge en lidt forskellig værdi fra denne. Afhængigheden mellem luminositet og masse, er anvendelig i det næste afsnit, ved estimering af stjerners levetid.

5.4.5 – Hovedseriestjerners levetid

Stjerner lever ikke for evigt. De skinner fordi fusionsreaktioner frigør energi i deres kerner, men brændstoffet til disse reaktioner har en endelig størrelse, og løber til sidst tør. ”Levetiden” for en stjerne, defineres sædvanligvis ved den mængde tid, som stjernen bruger mens den fusionerer hydrogen til helium i kernen, hvilket også er den tid den befinder sig i hovedserien. Den tid bliver fastlagt af mængden af hydrogen der oprindeligt er i stjernens kerne (hvilket er proportional med stjernens masse), og hastigheden hvormed stjernen bruger dette brændstof. Derfor passer stjernelevetidsopgaver til definitionen af ”rateopgaver” vi kiggede på i afsnit 1.3.2. Her er et eksempel der kombinerer levetid med brændstofforbrugshastighed:

Eksempel 5.4.5: Hvis en 5 M $\bigodot$ stjerne lever i 80 millioner år, hvad er dens brændstofforbrugshastighed i kilogram per sekund?

Den generiske rateligning (ligning 1.12) fra afsnit 1.3 er:

$\textup{m\ae ngde}=\textup{rate}\cdot \textup{tid}$

(1.12)

Du bliver bedt om at finde hastigheden af brændstofforbruget, så start med at omarrangere ligningen, så du løser den i forhold til raten:

$\textup{rate}=\frac{\textup{m\ae ngde}}{\textup{tid}}$

Du kan antage, at mængden af brændstof, er direkte proportional med stjernens masse, hvilken er blevet oplyst til fem gange Solens masse. Mængden for Solens brændstof, blev oplyst som 9 x 10²⁸ kg i eksemplet fra afsnit 1.3. Ved at indsætte fem gange denne værdi som mængde, 80 millioner år for tid, og inkludere en konverteringsfaktor, som konverterer mellem år og sekunder, vil give dig raten i kilogram per sekund:

$\textup{rate}=\frac{5\cdot(9\cdot 10^{28}\; kg)}{80\cdot 10^{6}\; {\color{Red} aar}}\cdot \left ( \frac{1\; {\color{Red} aar}}{3,1\cdot 10^{7}\; s} \right )=1,8\cdot 10^{14}\; kg$

hvilket er lidt over 300 gange Solens forbrændingshastighedsrate.

Levetiden er en anden egenskab, som ikke forekommer på en akse i H-R diagrammet, men ikke desto mindre, varierer den jævnt og forudsigeligt, i en retning langs hovedserien. Som vi skrev tidligere, så har stjerner med mere masse, mere brændstof, fordi en del af deres masse er brændstof. Men hele stjernes masse ikke nødvendigvis er tilgængelig som brændstof – kun hydrogenet i kernen er tilgængeligt – er mængden af tilgængeligt brændstof antaget at være proportional med stjernens masse (hvilket er en fornuftig antagelse for hovedseriestjerner).

Så, mens hovedseriestjerner med stor masse faktisk har mere brændstof, har de også en meget højere luminositet som et resultat af, at deres fusionsprocesser forløber med en meget hurtigere hastighed. Denne højere fusionshastighed, overkompenserer for de større brændstofreserver, og stjernen brænder sig hurtigere igennem dens brændstof, hvilket igen resulterer i en kortere levetid for de tunge hovedseriestjerner. Omvendt, hovedseriestjerner med en lav masse har mindre brændstof, men de forbruger den meget langsommere, og lever som et resultat heraf længere. Derfor er retningen af levetiden modsat retningen af stigende masse i hovedserien. Med andre ord, er stjerners levetid og deres masse omvendt relateret, således at når den ene bliver større, bliver den anden mindre. Det matematiske forhold mellem levetid og masse, kan ses ved at kombinere antagelsen med at en hovedseriestjernes mængde brændstof, er proportional med dens masse (hvilket kan udtrykkes som ”mængde brændstof ∝ M”), som vi så i forrige afsnit, og afhængigheden mellem luminositeten og massen beskrevet i ligning 5.20. Da raten på brændstofforbrug er det der direkte bestemmer luminositeten (effekten), kan L ∝ M^3,5 indsættes i stedet for ”rate” i ligning 1.12 på denne måde:

$\textup{levetid}=\frac{\textup{m\ae ngde\; br\ae ndstof}}{\textup{br\ae ndstofforbrugsrate}}\propto \frac{M}{L}\propto \frac{M}{M^{3,5}}\propto M^{1-3,5}\propto M^{-2,5}$

Dette matematiske forhold viser, at masse og levetid ikke bare er omvendt proportionale: den omvendte afhængighed af levetiden i forhold til massen er så stærk, at levetiden (l) er omvendt proportional til massen (M) opløftet i størrelsesordenen 2,5:

$l\propto M^{-2,5}\; \; \; \; eller\; \; \; \; l\propto \frac{1}{M^{2,5}}\; \; \; \; eller\; \; \; \; l\propto \left ( \frac{1}{M} \right )^{2,5}$

(5.21)

der alle er matematisk ens udsagn. Det betyder, at en stjerne der er halvt så tung som en anden stjerne, ikke bare lever dobbelt så længe, den lever (¹/₂)^2,5 = 5,7 gange så længe som den tungere stjerne. Som før med ligning 5.20, er eksponenten 2,5 i ligning 5.21, kun en tilnærmelse. Vi vil her bruge 2,5 som en fornuftig tilnærmelse for enhver hovedseriestjerne, men andre astronomitekster kan bruge en lidt forskellig værdi fra denne.

Eksempel 5.4.6: Hvad er hovedserielevetiden for en 6 M $\bigodot$ stjerne?

Før du foretager nogle beregning, overvej det faktum, at denne stjerne er tungere end Solen (der har en masse på 1 M $\bigodot$ , per definition). Så da tungere stjerner dør tidligere, vil du forvente at denne stjernes levetid vil være mindre end Solens, som er omkring 10 milliarder år. Så inden du foretager nogle beregninger, kan du forudsige, at stjernens levetid vil være meget mindre end 10¹⁰ år. Du kan få et kvantitativt resultat, ved at anvende ligning 5.21 og bruge forholdsmetoden, ved at bruge Solen som reference. Da denne stjernes masse er en faktor på seks gange Solens masse, vil denne stjernes levetid være en faktor på 6^-2,5 = 1/6^2,5 = 1/88, eller 0,01 gange Solens levetid. Det betyder, at denne stjerne skulle leve i 0,01 x 10 milliarder år, eller omkring 100 millioner år (havde du anvendt en anden værdi for eksponenten, for eksempel 2,0, ville di resultat blive 6^-2,0 = 1/6^2,0 = 1/36 = 0,03 gange Solens levetid, eller 300 millioner år.).

Når du opstiller trinene i forholdsmetoden, ser det således ud:

$\frac{l_{stjerne}\propto M_{stjerne}^{-2,5}}{l_{Solen}\propto M_{Solen}^{-2,5}}$

som bliver til

$\frac{l_{stjerne}}{l_{Solen}}=\left ( \frac{M_{stjerne}}{M_{Solen}} \right )^{-2,5}=\left ( \frac{6\; {\color{Red} M_{\bigodot }}}{1\; {\color{Red} M_{\bigodot }}} \right )=(6)^{-2,5}=0,01$

eller

$l_{stjerne}=0,01\cdot l_{Solen}=0,01\cdot (10^{10}\; aar)=100\; millioner\; aar$

Figur 5.7 – Stjerners egenskaber opsummeret på en skrabet udgave af H-R diagrammet.

Du finder det måske hjælpsomt, at tegne skrabede udgaver af H-R diagrammet, med pile der indikerer retningen i hvilken hver af parametrene vi ser på i disse afsnit, stiger. For luminositet og temperatur, kan du bare tegne de normale H-R diagramakser, med L på den lodrette akse og med en pil der peger opad, da større luminositeter ligger højere på grafen. Den vandrette akse skal mærkes med et T, med en pil der peger mod venstre (mod y-aksen), da højere temperaturer er længst mod venstre på grafen. En diagonal linje fra venstres startpunkt (hvor x- og y-aksen mødes) tegnes skråt op mod højre og markeres R, da radiussen stiger opad og mod højre på grafen. Både l og M skal markeres langs hovedserien, med M stigende opad mod venstre, og l stigende nedad mod højre. Figur 5.7 illustrere de herover beskrevne pile, der indikerer hvilken retning hver af de fem egenskaber vi har beskrevet i disse afsnit, stiger.