A1.1 – Arbejde med proportionaliteter

Det meste af matematikken i denne bog indebærer proportionaliteter – erklæringer om, hvordan en fysisk mængde ændres, når en anden mængde ændres. Vi begyndte at se på proportionalitet i Matematiske Værktøjer 1.1 og 3.3; her viser vi nogle få eksempler på arbejdet med proportionaliteter.

 

For an anvende en erklæring om proportionalitet for at sammenligne to objekter, begynder man med at sætte proportionaliteten i forhold. For eksempel er prisen for en pose æbler​​ proportional​​ med posens vægt:

 

 

Her udtales symbolet​​ ​​ som ”proportional med”. Hvad det betyder er, at forholdet mellem priserne på to poser æbler, er lig med forholdet mellem vægten af de to poser:

 

 

Lad os nu arbejde med et specifikt eksempel. Antag af posen A vejer 1.000 g og posen B vejer 500 g. Det betyder, at posen A, vil koste det dobbelte af posen B. Prisen per gram, er et eksempel på en konstant proportionalitet. Vi kan omdanne denne proportionalitet, til følgende ligning:

 

 

Med andre ord, er prisen på pose A, to gange prisen på pose B.

 

Lad os nu arbejde med et andet, mere komplekst eksempel. I kapitel 12 så vi, hvordan luminositeten, lysstyrken og afstanden for stjerner er relaterede. Luminositeten for en stjerner – den samlede mængde energi stjernen udstråler hvert sekund – er proportional med stjernens lysstyrke ganget med dens afstand i anden potens:

 

 

Hvad denne proportionalitet betyder er, at for to vilkårlige stjerner – lad og kalde dem A og B – er:

 

 

Hvis vi bruger symbolerne​​ L,​​ b, og​​ d​​ til at repræsentere henholdsvis luminositet, lysstyrke og afstand, bliver ligningen:

 

 

Som et eksempel, lad os antage at stjerne A synes dobbelt så lysstærk på himlen, som stjerne B, men stjerne A er placeret 10 gange så langt væk som stjerne B. Sammenlign nu luminositeterne for de to stjerner. Fordi ve ved at:

 

 

Kan vi skrive:

 

 

 

Med andre ord, har stjerne A en luminositet der er 200 gange større end stjerne B.

 

Proportionaliteter bruges til at sammenligne et objekt med et andet. Proportionalitetskonstanter bruges til at beregne faktiske værdier. I denne bog, er det sædvanligvis proportionaliteten selv, der er vigtig.