12.3 – Måling af masserne for et formørkelses binært system

 ​​ ​​​​ Newton viste, at hvis to objekter med masserne​​ m1​​ og​​ m2​​ er i kredsløb om hinanden, er periodens omløb,​​ P, relateret til den gennemsnitlige afstand mellem de to masser, den halve​​ storakse,​​ A, ved ligningen:

En mindre omarrangering af denne ligning, ændrer den til et udtryk for summen af masserne for de to objekter:

 ​​ ​​​​ Vi kan ignorere værdien​​ 4π2G​​ ved at anvende det, vi ved om Jordens kredsløb omkring Solen, og derefter udtrykke​​ m,​​ A​​ og​​ P​​ som forhold. Hvis​​ A=​​ 1 AU og​​ P=​​ 1 år,​​ M⨀=​​ Solens masse og​​ M⨁=​​ Jordens masse, så ved vi at​​ m1+m2= M⨀+M⨁≈M⨀​​ (fordi​​ M⨀​​ er meget større end​​ M⨁). Så hvis vi udtrykker masserne​​ m1​​ og​​ m2,​​ A​​ og​​ P​​ i den ligning med hensyn til Solsystemenheder, som for eksempel​​ m1=m11 M⨀,​​ AAU=A1 AU​​ og​​ Paar=P1 aar, kan ligningen simplificeres til:

 ​​ ​​​​ Derfor, hvis vi kender både​​ m1m2​​ og​​ m1+m2, kan vi finde de separate værdier af​​ m1​​ og​​ m2.

 ​​ ​​​​ Antag at du er en astronom, der studerer et binært stjernesystem. Efter at have observeret stjernen i flere år, samler du følgende oplysninger om systemet:

• Stjernesystemet er et formørkelses binært system

• Perioden for kredsløbet er 2,63 år (du har fundet dette ved observation)

• Stjerne 1 har en Doppler-hastighed der variere mellem +20,4 og -20,4 km/s.

• Stjerne 2 har en Doppler-hastighed der varierer mellem +6,8​​ og -6,8 km/s.

• Stjernerne er i cirkulært kredsløb. Du ved dette, fordi Doppler-hastighederne for stjernerne er symmetriske; hastighederne når de bevæger sig bort er de samme som når de nærmer sig.

 ​​ ​​​​ Disse data, er opsummeret i figur 12.15. Du begynder din analyse ved at bemærke, at stjernesystemet er et formørkelses binært system, hvilket fortæller dig at systemets plan er mod din observationsretning. Doppler-hastighederne fortæller dig, at den totale kredsløbshastighed for hver stjerne, og du bestemmer størrelsen af kredsløbene ved hjælp af forholdet​​ Afstand=hastighed ×tid. På en kredsløbsperiode, rejser stjerne 1 rundt i en cirkel – en afstand på:

 ​​ ​​​​ Du ganger nu med antallet af sekunder på et år:

 ​​ ​​​​ Denne afstand, er omkredsen af stjerne 1’s kredsløb, eller​​ 2π​​ gange radius af stjernens kredsløb,​​ A1. Stjerne 1, følger således en bane med en radius på:

 ​​ ​​​​ For at konvertere dette til astronomiske enheder, bruger du forholdet​​ 1 AU=1,50×108 km:

 ​​ ​​​​ 

En lignende analyse for stjerne 2 viser, at dens kredsløb har en radius på​​ A2=0,6 AU.

 ​​ ​​​​ Dernæst​​ anvender du Newtons version af Keplers tredje lov der siger, at masserne af stjernerne i solmasser,​​ m1​​ og​​ m2, er relateret til den gennemsnitlige afstand mellem dem, i AU,​​ AAU, og deres kredsløbsperiode,​​ Pår. Da stjernerne altid er på modsatte sider af massecentrummet, er​​ AAU=1,8 AU+0,6 AU=2,4 AU. Fordi du kender​​ A​​ og​​ P​​ (målt til 2,63 år), kan du nu beregne den samlede masse af de to stjerner:

 ​​ ​​​​ Så du har altså fundet, at den kombinerede masse for de to stjerner, er det dobbelte af Solens masse.

 ​​ ​​​​ For at finde den individuelle masse af​​ hver stjerne, bruger du de målte Doppler-hastigheder, og det faktum, at masse og hastighed er omvendt proportionale:

 ​​ ​​​​ Stjerne 2, er altså tre gange så massiv som stjerne 1. I matematiske termer er​​ m2=3×m1. Ved at indsætte dette i en ligning:​​ m1+m2=2 M⨀, som giver:

 ​​ ​​​​ eller​​ 4m1=2 M⨀, aå​​ m1=0,5 M⨀. Da​​ m2=3×m1, så er​​ m2=1,5 M⨀.

 ​​ ​​​​ Stjerne 1 har en masse på 0,5​​ M⨀, og stjerne 2 har en masse på 1,5​​ M⨀. Sådan! Du har netop fundet masserne på to fjerne stjerner.