10.1 – Måner og Keplers love

 ​​ ​​​​ Husk fra kapitel 3, hvordan Newtons version af Keplers lov for planeter der kredser som Solen, kunne bruges til at estimere Solens masse. Hvad kan denne lov angive om måner der​​ kredser om en planet? I kapitel 3, brugte vi denne ligning for at beregne​​ M:

 

 

Hvor​​ A​​ = den halve storakse af kredsløbet og​​ P​​ = omløbsperioden. Ved at omarrangere ligningen fås:

 

 

I denne ligning, afhænger​​ P2A3​​ kun af flere konstanter og planetens masse.

 ​​ ​​​​ Jupiters måne Ganymedes, Europa og Io, har en kredsløbs resonans på 1:2:4; det betyder, at for hvert kredsløb Ganymedes foretager, foretager Europa to og Io 4. Vi kan bruge denne resonans til at estimere deres relative afstand fra Jupiter – først for Europa og Io:

 

 

Ved omarrangering får vi:

 

 

Omløbsperioden for Europa, er det dobbelte af omløbsperioden for Io, så:

 

 

 

Herefter tages kvadratroden:

 

 

 ​​ ​​​​ Derfor er Europas afstand til Jupiter 1,6 gange Ios afstand til Jupiter. Denne beregnede værdi, bakkes op​​ af den mere direkte måling:​​ AEuropa=671.000 km, hvilket er 1,6 gange​​ AIo=422.000 km. Ligeledes, er omløbsperioden for Ganymedes, den dobbelte af Europa, og derfor et Ganymedes 1,6 gange længere væk fra Jupiter, end Europa er.

 ​​ ​​​​ For alle Jupiters måner, vil​​ P2A3​​ være den samme konstant. Når​​ vi indsætter de faktiske værdier for omløbsperioderne i dage,​​ P=1,77​​ dage for Io og​​ P=355​​ dage for Europa, og kredsløbets halve storakse i kilometer ofr Io og Europa for eksempel, får vi følgende:

 

 

 

 ​​ ​​​​ Vi ville få den samme konstant (4,17×10-17) for hver af Jupiters måner.​​ Hvis du lavede en lignende beregning for en anden planets måner, ville konstanten være forskellig fra den for Jupiter, fordi konstanten er afhængig af planetens masse. Men den ville være den samme værdi for alle måner der omkredser den givne planet.