Der er mange grene af matematik. Grenen, der fokuserer på forholdet mellem mængder, kaldes algebra (eller bogstavsregning og læren om matematiske operationer). Når du læser denne bog, har du helt sikkert fået undervisning i algebra, men du er ikke alene, hvis du føler at en lille opfriskning er på sin plads. Grundlæggende, anvender algebra symboler for at repræsentere mængder.
For eksempel, kan du skrive den afstand du bevæger sig på en dag, som d. Som det står skrevet, har d ikke nogen værdi. Det kan være 10.000 km, eller det kan være 30 meter. D har dog enheder – i dette tilfælde enheden for afstand. Den gennemsnitlige hastighed som du bevæger dig med, svarer til den afstand du bevæger dig, divideret med den tid det tager. Ved at bruge symbolet v til at repræsentere din gennemsnitlige hastighed, og symbolet t til at repræsentere den tid det tager, kan du i stedet for at skrive ”den gennemsnitlige hastighed er lig med afstanden divideret med tiden”, kan du skrive:
Betydningen af dette algebraiske udtryk, er nøjagtig den samme, som den sætning vi skrev lige før, men den er meget mere præcis. Som det står skrevet ovenover, har v, d og t stadig ingen specifikke værdier. Der er ikke nogle tal tildelt til symbolerne endnu. Men dette udtryk angiver, hvad forholdet mellem disse tal vil være, mår man betragter et bestemt eksempel. For eksempel, hvis du bevæger dig 500 km (d = 500 km) på 10 timer (t = 10 timer), fortæller dette udtryk, at din gennemsnitlige hastighed er:
Bemærk, at enhederne i dette udtryk er multiplikative faktorer, som fungerer på nøjagtig den samme måde som værdierne. Divisionen af de to viser, at enhederne for v er kilometer divideret med timer, eller km/t (udtales som kilometer per time).
Vi introducerede algebra som en slags stenografi, for at udtrykke forholdet mellem mængder, men algebra er langt mere brugbart end bare det. Algebra giver regler til at manipulere med symbolerne som bruges til at repræsentere mængderne. Vi begynder med en smule notation for potenser og rødder. Ved at hæve en mængde til en potens, betyder at mængden skal ganges med sig selv, et antal gange. For eksempel, hvis S er et symbol for noget (hvad som helst), betyder S2 (udtales ”S opløftet i anden potens”) det samme som S∙S, og S3 (udtales ”S opløftet i tredje potens”), betyder S∙S∙S. Antag, at S repræsenterer længden af siden på et kvadrat. Arealet af kvadratet er givet ved:
Hvis S=3 meter (m), så er arealet af kvadratet:
(udtales ”9 kvadratmeter”). Vi kunne gøre det samme for en kvadratisk kasse, og have fundet kassens volumen til:
Hvis S=3 meter, så er kassens volumen:
(udtales ”27 kubikmeter”).
Rødder, er det omvendte af denne proces. Kvadratroden af en mængde, er den værdi der, når den ganges med sig selv, giver den oprindelige mængde, Kvadratroden af 4 er 2, hvilket betyder at 2∙2=4. Kvadratroden af 9 er 3, hvilket betyder at 3∙3=9. Tilsvarende er kubikroden af en mængde, den værdi der, når den ganges med sig selv tre gange, giver den oprindelige værdi. Kubikroden af 8 er 2, hvilket betyder at 2∙2∙2=8. Rødder skrives med symbolet √‾. For eksempel skrives kvadratroden af 9 som:
og kubikroden af 8 som:
Hvis volumen af en kasse er V = S3, så er:
Rødder kan også skrives som potenser. Potenser og rødder opfører sig nøjagtig som potenserne af 10, vi beskrev i afsnittet om videnskabelig notation (eksponenterne anvendt i videnskabelig notation, er blot potenser af 10). For eksempel, hvis a, n og m alle er algebraiske mængder, så er:
(for at se om du forstår alt dette, så prøv at forklare hvorfor kvadratroden af a, kan skrives som a1/2 og hvorfor kubikroden af a, kan skrives som a1/3).
Nogle af reglerne i algebra, kan du se herunder. Disse er reglerne der gælder for aritmetik (læren om tal), anvendt på de symbolske mængder i algebra. Det vigtige er dette: Så længe reglerne for algebra anvendes korrekt, så forbliver relationerne mellem symbolerne man er fremkommet til gennem algebraisk manipulation, tro mod de fysiske mængder, som disse symboler repræsenterer.
Her opsummere vi nogle algebraiske regler og relationer. I denne opsummering er a, b, c, d, m, n, r, x og y alle algebraiske mængder:
Associativitet:
Kommutativitet:
Distributivitet:
Gange over kors:
Arbejde med eksponenter:
Ligningen for en linje med hældningen m og skæringspunktet med y-aksen, b:
Ligningen for en cirkel, med radius r centreret ved x=0 og y=0:
