A1.2 – Videnskabelig notation

Astronomi er en videnskab, med både meget store værdier og meget små værdier. Massen for en elektron, er for eksempel:

 

0.0000000000000000000000000000009109 kilogram (kg)

 

hvorimod afstanden til en galakse meget, meget langt væk, kan være omkring:

 

100.000.000.000.000.000.000.000.000 meter

 

Alt man behøver, er et hurtigt kig på disse tal for at indse, hvorfor astronomer, som andre videnskabsfolk, gør flittigt brug af​​ videnskabelig notation​​ for at udtrykke tal.

 

Potenser af 10

 

Vores talsystem, er baseret på potenser af 10. De går fra venstre side af decimaltegnet:

 

 

 

 

og så videre. De kan også gå fra højre side af decimaltegnet:

 

 

 

 

og så videre. Med andre ord, hver plads til venstre eller højre for decimaltegnet i et tal, repræsenterer en potens af 10. For eksempel kan 1 million skrives som:

 

det betyder, ”1 ganget med 6 faktorer af 10”. Videnskabelig notation, kombinerer disse potenser af 10, til en håndgribelig forkortelse. I stedet for at skrive tallet fuldt ud, kan de seks potenser af ti kombineres til en forkortelse, ved at bruge en eksponent:

 

 

hvilket også betyder ”1 ganget med 6 faktorer af 10”.

 

Ved at bevæge sig mod højre fra decimaltegnet,​​ fjerner​​ hvert decimal en potens af 10 fra tallet. En milliontedel kan skrives som:

 

 

Dette fjerner potenser af 10, så dette tal bliver skrevet, ved at angive en negativ potens, som:

 

 

eller​​ 

 

 

 

Hvis vi vender tilbage til de tidligere eksempler, så er massen af en elektron 9,109∙10-31​​ kg, og afstanden til den fjerne galakse er 1∙1026​​ meter. Dette er langt mere bekvemme måder at opskrive disse værdier på. Bemærk,​​ at eksponenten i videnskabelig notation, giver dig en fornemmelse af størrelsen på et tal, ved blot at kigge på det. Potensen af 10 ved elektronmassen er -31, hvilket angiver, at det er et meget lille tal. Potensen af 10 ved afstanden til den fjerne galakse, +26, angiver hurtigt, at det er et meget stort tal. Denne eksponent, kaldes ofte​​ størrelsesordenen​​ af et tal. Når du ser et tal skrevet som videnskabelig notation i denne bog (eller andre steder), skal du bare huske at se på eksponenten, for bedre at forstå, hvad tallet fortæller dig.

 

Videnskabelig notation er også praktisk, fordi det gør det nemmere at gange og dividere tal. For eksempel kan to milliarder ganget med otte tusindedele, skrives som:

 

 

men det er mere bekvemmeligt at skrive disse to tal i videnskabelig notation, som:

 

 

Vi kan opskrive dette udtryk på denne form:

 

 

Den første del af udtrykket, er blot 2∙8=16. Den mere interessante del af udtrykket, er multiplikationen i den højre parentes. Det første tal, 109, er bare forkortelsen af 10∙10∙10… ni gange. Det betyder, at det repræsenterer 9 gange potensen af 10. Det andet tal, betyder 3 faktorer af​​ 1/10​​ – eller fjernelse af tre potenser af 10, hvis du foretrækker at tænke på det på den måde. Til sammen bliver det 9-3=6 potenser af 10. Med andre ord:

 

 

Konventionelt, når et tal skrives som videnskabelig notation, er der kun et ciffer placeret til venstre for decimaltegnet. Imidlertid er, 16 det samme som 1,6∙10, så vi kan tilføje denne ekstra potens af 10 til eksponenten, hvilket giver det endelige svar:

 

 

Division, er blot det modsatte af multiplikation. Division med 103​​ betyder, fjerne ter potenser af 10. Ved at anvende det tidligere tal:

 

 

 

 

Denne gang har vi kun et nul til venstre for decimaltegnet. For at få tallet på den korrekte form, kan vi erstatte 0,8 med 8∙10-1, hvilket giver det endelige resultat:

 

 

Lommeregnertip: lægge tal sammen eller trække tal fra hinanden i videnskabelig notation er noget vanskeligere, fordi alle tal skal skrives som værdier ganget med den samme potens af 10, før de kan lægges sammen eller trækkes fra hinanden. De fleste videnskabelige lommeregnere har en knap der hedder EXP eller EE. Disse betyder ”gange 10 til”, så for at skrive 4∙1012​​ på lommeregneren, skriver du: [4] [EXP] [1] [2], eller [4] [EE] [1] [2].

 

Betydende cifre

 

I det foregående eksempel, brød vi faktisk nogle regler, i interessen for at forklare, hvordan potenser af 10 behandles i videnskabelig notation. Reglerne vi brød, involverer præcisionen af tallene. Når man udtrykker mængder i videnskab, er det yderst vigtigt at kende, ikke kun værdien af et tal, men også hvor præcis denne værdi er.

 

Den bedste måde, at holde styr på tals præcision, er faktisk at nedskrive usikkerheden i tallet. Antag for eksempel, at du ved, at afstanden til en butik (lad os kande den d) ligger mellem 0,8 og 1,2 kilometer, så kan du skrive:

 

 

hvor symbolet ± udtales ”plus-minus”. I dette eksempel, er​​ d​​ mellem 1,0-0,2=0,8 km og 1,0+0,2=1,2 km. Dette er en entydig erklæring om begrænsningerne i at kende værdien af​​ d, men at notere de formelle usikkerheder for tallene hele vejen, ville være besværligt i bedste fald. I stedet holder du styr på den omtrentlige præcision af et tal, ved hjælp af​​ betydende cifre.

 

Konventionen for betydende cifre er denne: Antag, at det nedskrevne tal, er et tal der er blevet afrundet fra en række, der havde et ekstra ciffer til højre for decimaltegnet. Hvis en mængde​​ d, der kan repræsentere afstanden til butikken, er ”1”, så er​​ d​​ tæt på 1.​​ d​​ er sandsynligvis ikke så lille som ”0”, og​​ d​​ er sandsynligvis ikke så stor som ”2”. Hvis​​ d​​ i stedet blev skrevet som:

 

 

så er​​ d​​ sandsynligvis ikke ”0,9” eller ”1,1”. Det er tæt på 1,0 op til nærmeste tiendedel. Jo større antallet af betydende cifre er, desto mere præcist bliver tallet angivet. For eksempel, 1,00000 er ikke det samme tal som 1,00. Det første tal, 1,00000, repræsenterer en værdi, der sandsynligvis ikke er mindre end ”0,99999” eller større end ”1,00001”. Det andet tal, repræsenterer en værdi, der sandsynligvis ikke er mindre end ”0,99” eller større end ”1,01. Tallet 1,00000 er langt mere præcist, end tallet 1,00.

 

I matematiske operationer, er betydende cifre vigtige. For eksempel er 2,0∙1,6=3,2. Det er svarer ikke til 3,20000000000. Produktet af de to tal, kan aldrig have større nøjagtighed, end tallene selv. Som en generel regel kan det siges, at når du ganger eller dividerer tal, skal resultatet have det samme antal betydende cifre, som det mindst præcise af tallene der ganges eller divideres. Med andre ord, så er 2,0∙1,602583475=3,2. Fordi det eneste du ved er, at det første tal sandsynligvis er tættere på 2,0 end det er på 1,9 eller 2,1, og alt du ved om produktet er, at det ligger mellem 3,0 og 3,4, hvilket er 3,2 (altså mellem 1,91,6 og 2,11,6). Det er ikke 3,205166950 (selvom det er resultatet på din lommeregner). Cifrene til højre for 3,2, har ikke nogen betydning.

 

Når to tal lægges sammen eller trækkes fra hinanden, og det ene tal har betydende cifre på positioner hvor det andet tal ikke har det, så kan resultatet ikke indeholde betydende cifre på den eller de positioner. For eksempel:

 

 

1.045

 

+

 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ 1,34567

 

=

1.046

 

 

Resultatet er ”1.046”,​​ ikke​​ ”1.046,34567”. Igen, de ekstra cifre på højre side ad decimaltegnet, har ikke nogen betydning, fordi tallet ”1.045” ikke kendes med samme nøjagtighed.

 

Hvad er nøjagtigheden af tallet 1.000.000? På den måde hvorpå det er skrevet, er svaret uklart. Er alle disse nuller virkelig vigtige, eller er de pladsholdere? Hvis tallet var skrevet i videnskabelig notation, kommer du dog aldrig i tvivl. I stedet for 1.000.000, skriver du 1,0∙106​​ for et tal hvis nøjagtighed er kendt til nærmeste hundredtusinder eller deromkring; eller du skriver 1,00000∙106​​ for tal hvis nøjagtighed er kendt til nærmeste tier.

 

Så det tidligere eksempel ville have været mere korrekt, hvis det havde været skrevet som: