Ensartet cirkulær bevægelse
I kapitel 3 (se afsnit 3.5 og figur 3.21), ser vi på bevægelsen af et objekt, der bevæger sig i en cirkel med en konstant hastighed. Denne bevægelse, kaldet ensartet cirkulær bevægelse, er resultatet af, at centripetalkraften altid virker mod midten af cirklen. Hovedspørgsmålet, når man tænker på ensartet cirkulær bevægelse er, hvor hårdt skal noget trække for at holde objektet i en cirkelbevægelse? En del af svaret på dette spørgsmål er ret indlysende: jo mere massivt objektet er, desto sværere vil det være at holde det på i en cirkulær bane. Ifølge Newtons anden lov om bevægelse, F=m∙a, eller i dette tilfælde, er centripetalkraften lig med massen ganget med den centripetale acceleration. Jo større massen er, desto større er den kraft der kræves for at holde et objekt i en cirkelbevægelse.
Den centripetale kraft, der behøves for at holde et objekt i bevægelse, i konstant cirkelbevægelse, afhænger også af to andre størrelser: objektets hastighed og størrelsen på cirklen. Jo hurtigere et objekt bevæger sig, desto hurtigere skal det ændre retning, for at forblive i en cirkel af en given størrelse. Den anden størrelse der påvirker den nødvendige acceleration, er cirklens radius. Jo mindre cirkel, desto større træk behøves, for at holde et objekt på det rette spor. Du kan bedre forstå dette ved at se på bevægelsen. En lille cirkel kræver et kontinuerligt ”skarpt” sving, mens en større cirkel, kræver et mere blidt retningsskifte. Det kræver mere kraft, for at få et objekt til at bevæge sig hurtigt i en lille cirkel, en det kræver at få et objekt til at bevæge sig langsomt i en større cirkel (for at få en bedre forståelse af hvordan dette virker, kan du forestille dig forskellen på at køre i en bil der tager et skarpt sving med høj hastighed, og en bil der bevæger sig langsomt gennem en blid kurve).
For at nå frem til den cirkulære hastighed og andre resultater vi så på i kapitel 3, er disse intuitive ideer om ensartet cirkulære bevægelse blevet omdannet til et kvantitativt udtryk, for præcis hvor meget centripetal acceleration de er nødvendig, for at holde et objekt i en cirkelbevægelse med en cirkelradius på r og hastigheden v. Figur A7.1 viser en kugle, der bevæger sig rundt i en cirkel med radiussen r og en konstant hastighed v, på to forskellige tidspunkter. Centripetal accelerationen som holder bolden på cirklen, er a. Husk at acceleration altid er rettet mod midten af cirklen, mens kuglens hastighed, altid er vinkelret på accelerationen. Kuglens hastighed og acceleration er altid vinkelrette på hinanden. Når objektet bevæger sig rundt om cirklen, ændres bevægelsesretningen og accelerationsretningen samtidig.
Figur A7.1 indeholder to trekanter. Trekant 1 viser hastigheden (fart og retning) på hver af de to punkter. Pilen mærket ”Δv”, der forbinder hovederne på de to hastighedspile viser, hvor meget hastigheden er ændret mellem tid 1 (t1) og tid 2 (t2). Denne ændring er effekten af centripetal accelerationen. Hvis du forestiller dig, at punkt 1 og 2, er meget tæt på hinanden – så tæt at retningen på centripetal accelerationen ikke ændres ret meget mellem de to punkter – så er centripetal accelerationen lig med ændringen i hastigheden divideret med tiden mellem de to, Δt = t2 – t1. Så, Δv = a∙Δt.
Trekant 2 viser noget lignende. Her angiver pilen ”Δr” ændringen i positionen af kuglen mellem tid 1 og tid 2. Igen, hvis du forestiller dig at tiden mellem de to punkter er meget kort, er Δr lig med hastigheden ganget med tiden, eller Δr = v∙Δt.
Linjen mellem centrum af cirklen og kuglen, er altid vinkelret på kuglens hastighed. Så hvis retningen af kuglens hastighed ændres med en vinkel på θ, skal retningen af linjen mellem kuglen og cirklens centrum også ændre sig med samme vinkel på α. Med andre ord, er trekant 1 og 2 ”ens trekanter”. De har samme form. Hvis trekanterne har samme form, skal forholdet mellem to sider i trekant 1, svare til forholdet mellem de to tilsvarende sider i trekant 2. Derfor er:
Hvis vi dividerer med Δt på begge sider af ligningen, og derefter ganger over kors, får vi:
hvorefter vi dividerer med r på begge sider af ligningen, og vi får:
Det nedsænkede ”centripetal”, tilføjes til a for at indikere, at dette er den centripetale acceleration, som er nødvendig for at holde objektet i en cirkelbevægelse omkring en cirkel med radiussen r og med hastigheden v. Den centripetale kraft, som kræves for at holde et objekt med massen m, som bevæger sig på en sådan cirkel, kan opstilles som:
Cirkulære kredsløb
I tilfælde af et objekt, der bevæger sig i et cirkulært kredsløb, er der ingen snor til at holde objektet i sin cirkulære bane. I stedet bliver denne kraft tilvejebragt af tyngdekraften.
Tænk på et objekt med massen m, i kredsløb om et meget større objekt med massen M. Kredsløbet er cirkulært, og afstanden mellem de to objekter er givet ved r. Den kraft, der er nødvendig for at holde det mindre objekt, som bevæger sig med hastigheden v, i en cirkel med radiussen r, er givet ved den foregående ligning for Fcentripetal. Den kraft, som tilvejebringes af tyngdekraften (se kapitel 3) er derfor:
Hvis tyngdekraften er ansvarlig for, at holde massen i dens cirkulære bevægelse, skal følgende være sandt: Fgrav = Fcentripetal. Det vil sige, at hvis massen m bevæger sig i en cirkel under tyngdekraftens påvirkning, skal kraften der tilvejebringes af tyngdekraften, svare til den centripetale kraft der er nødvendig, for at forklare den cirkulære bevægelse. Ved at stille de to udtryk for Fcentripetal og Fgrav lig med hinanden, får vi:
Alt hvad der mangler nu, er en smule algebra. Ved at dividere med m og gange med r på begge sider af ligningen, fås:
Ved at tage kvadratroden på begge sider af ligningen, afslører det ønskede resultat:
Dette er den cirkulære hastighed, som vi så på i kapitel 3. Det er den hastighed, ved hvilken et objekt i et cirkulært kredsløb, skal bevæge sig med. Hvis ikke objektet bevægede sig med denne hastighed, så ville tyngdekraften ikke tilvejebringe den nødvendige centripetale kraft, og objektet ville ikke bevæge sig i en cirkel.