3.2 – Cirkulær hastighed og omløbsperioder

 ​​ ​​​​ Den centripetale kraft der behøves for at holde et objekt, der bevæger sig med en konstant hastighed, fast i et cirkulært kredsløb, er lig med den kraft der tilvejebringes af​​ tyngdekraften. Vi kan bruge følgende udtryk for den cirkulære hastighed – hastigheden hvorved et objekt i et cirkulært kredsløb​​ skal​​ bevæge sig med:

hvor​​ M​​ er massen på objektet der kredses om og​​ r​​ er radiussen på det cirkulære kredsløb.

 ​​ ​​​​ Vi kan putte​​ nogle værdier ind i denne ligning for den cirkulære hastighed, for at vise hvor hurtigt Newtons kanonkugle skal bevæge sig for at forblive i et cirkulært omløb. Den gennemsnitlige radius for Jorden er​​ 6,67×106 m, Jorden masse er​​ 5,97×1024 kg, og gravitationskonstanten er​​ 6,67×10-11m3kg×s2. Ved​​ at indsætte disse værdier i udtrykket for​​ vcirc​​ får vi:

 ​​ ​​​​ Newtons kanonkugle skulle altså bevæge sig med en hastighed på omkring 8 m/s – over 28.000 km/t – for at blive i dens cirkulære bane. Det er langt uden for rækkevidden af en normalt kanon, men disse hastigheder bliver rutinemæssigt opnået af rumraketter.

 ​​ ​​​​ Lad os antage, at målet er at anbringe en satellit i kredsløb om Månen lige over dens overflade. Hvor stærkt skulle den så bevæge sig? Månens radius er​​ 1,737×106​​ meter, og dens masse er​​ 7,35×1022​​ kg. Disse værdier, giver følgende cirkulære hastighed:

 ​​ ​​​​ Denne samme ide, kan anvendes for Jordens bevægelse omkring Solen. Jorden bevæger sig med en hastighed på​​ 2,98×104ms​​ (eller 29,8 km/s) i dens bane omkring Solen; Jordens baneradius,​​ r, er​​ 1,50×1011​​ meter. Så vi kender alt omkring næsten cirkulære kredsløb undtagen Solens masse. Ved at kvadrere begge sider af ligningen for​​ vcirc​​ får vi:

 ​​ ​​​​ (Symbolet​​ ⨀​​ betegner Solen). Ved at omarrangere ligningen for at få​​ M⨀, og indsætte de kendte værdier får vi:

 ​​ ​​​​ Dette er måden,​​ hvorpå astronomer, estimerer Solens masse på.

 ​​ ​​​​ Lad os gå et skridtet videre. Keplers tredje lov omhandler tiden som en planet bruger på at lave et helt kredsløb omkring Solen. Den tid det tager et objekt at kredse en gang rundt i en cirkel, er cirklens omkreds (2×π2) divideret med objektets hastighed (tiden er lig med afstanden divideret med hastigheden). Hvis objektet er en planet i en cirkulær bane omkring Solen, så skal dens bevægelseshastighed være lig med den beregnede cirkulære hastighed. Ved at bringe​​ alt dette sammen får vi:

 ​​ ​​​​ Ved at kvadrere begge sider af ligningen får vi:

 ​​ ​​​​ Kvadratet af omløbstiden er lig med en konstant (4π2G×M⨀) ganget med kredsløbets radius i tredje potens.​​ Dette er Keplers tredje lov anvendt på cirkulære kredsløb.​​ Denne​​ afledning, er hvordan Newton viste, i det mindste i tilfældet med cirkulære kredsløb, at Keplers tredje lov – Hans ”verdnernes harmoni” –​​ er en direkte konsekvens af, hvordan objekter bevæger sig under indflydelse af tyngdekraften. En mere komplet behandling af problemet (for hvilke Newton opfandt beregningerne) viser, at Newtons love om bevægelse og tyngdekraft, forudsiger​​ alle​​ Keplers empiriske love for planetbevægelser – både for elliptiske og cirkulære kredsløb.