Som beskrevet i det forrige afsnit, betyder de enorme afstande til astronomiske objekter, at disse objekter har en meget lille vinkelstørrelse, og det er svært at se ting med medet små vinkelstørrelser. Men i 1608, begyndte brillemageren Hans Lippershey og andre i Holland, at anvende linser til at gøre fjerne objekter større. Galileo hørte om denne opdagelse det følgende år, at han begyndte øjeblikkeligt at lave sin egen (og meget forbedrede) udgave, at det der snart ville blive kendt under navnet, et ”teleskop”. Han vendte så instrumentet mod nattehimlen, og lige siden, har vi anvendt teleskoper til at observere astronomiske objekter, med en lille vinkelstørrelse.
I de mest omfattende astronomibøger, er der et kapitel der omhandler teleskoper og andre astronomiske instrumenter, og der er normalt ikke så meget matematik i de kapitler. Men når du læser om fordelene ved store teleskoper, støder du sandsynligvis på begreber som ”følsomhed” og ”vinkelopløsning”. Baggrunden for følsomheden er lige til – større teleskoper (det betyder teleskoper med et større apertur – åbningen hvor igennem lyset kommer ind i teleskopet) samler mere lys, og dette gør at svage objekter synes mere lysstærke. Men vi mener, at vinkelopløsning kræver en nærmere forklaring, og denne forklaring er emnet for resten af dette afsnit.
4.3.1 – Vinkelopløsningskonceptet
Hvad nøjagtigt er vinkelopløsning? Det er den mindste vinkel over hvilken, to punkter kan skelses som to separate punkter, snarer end et udtværet punkt. Disse to punkter kan være to separate lyskilder, så som to stjerner, eller de kan være detaljer på et enkelt objekt, såsom kanten på den røde plet på Jupiter. Så med bedre (mindre) vinkelopløsning, kan du se objekter klarere. Hvis du bruger briller eller kontaktlinser, kan du nemt se fordelen ved bedre vinkelopløsning, ved blot at sammenligne dit synsfelt med og uden dine briller eller linser. Uden den optiske hjælp, giver øjnene dig en præsentation af verdenen som er udtværet og med uopløste detaljer.
Opløsning er relateret til bølgenaturen for lys, og for at forstå opløsning, er det nødvendigt at forstå hvordan bølger interagerer. Når to eller flere bølger er til stede på samme position, kaldes interaktionen mellem dem for ”interferens”. Og selvom ordet interferens er negativt ladet i hverdagen, kan interferens i videnskaben være både konstruktiv, destruktiv, eller et sted der imellem. Et par eksempler på interferens mellem to bølger, kan du se i figur 4.7.
Bemærk, at når de to bølger er i fase, laver de konstruktiv interferens, som giver en større bølge. Men hvis de to bølger er ude af fase, laver de destruktiv interferens, som danner en mindre bølge (hvilket kan være ingen bølge overhovedet, hvis de to bølger er fuldstændig ude af fase og har samme størrelse). Hvis bølgerne kun er en smule ude af fase, er resultatet en bølge der er mindre end den bølge der opstår når de er helt i fase med hinanden, men den er stadig større en hver af de enkelte bølger.
For at se hvorfor bølgeinterferens er relevant for vinkelopløsning, skal du se på bølger der opsamles og bringes sammen af en linse eller et spejl. I figur 4.8, kan du se en gennemskæring af en linse, og effekten af den linse på de indkomne lysbølger.
Bemærk, at i denne figur, er de indkomne bølger i venstre side parallelle med hinanden; dette er på grund af den meget store afstand til kilden. For en kilde tættere på, ville bølgerne være spredte (kommer længere fra hinanden, desto længere de bevæger sig), men selv det nærmeste astronomiske objekter er så langt væk, at deres bølger i det væsentlige parallelle, når de når frem til Jorden.
Som du kan se i denne figur, mødes (konvergerer) lysbølgerne på linsens akse (hvilket er linjen gennem linsens centrum), efter de har passeret linsen. Brændpunktet (fokuspunktet – de punkt hvor bølgerne konvergerer), ligger også på linsens akse. Bølger der kommer fra andre retninger, vil ramme brændpunktet på andre steder, og ”brændplanet” er samlingen af alle de punkter, hvor bølgerne konvergerer.
Det er vigtigt at forstå, at ved brændpunktet vist i figur 4.8, er alle bølgerne fra alle punkter på linsen (centrum, kanter, og der imellem) i fase. Det betyder at bølgerne vil interferere konstruktivt på denne position, og danne en lys plet på billedet. Men selvom lyskilden er et punkt (en vinkelstørrelse der er tæt på nul), interfererer bølgerne ikke konstruktivt på kun et punkt på brændplanet, men hen over et lille stykke af det. Du kan få en ide om dette, ved at kigge på den lille graf i siden af figur 4.9, der er en graf over lysstyrke på en slids gennem brændplanet.
Den mærkeligt udseende graf, med en stor central top, med en masse mindre toppe rundt om den, kaldes for ”punktspredningsfunktionen” (PSF), fordi den viser hvordan lyset fra en enkelt punktkilde, spredes ud i billedet. Bemærk at den centrale top, ikke er uendelig smal; den har en endelig bredde, selvom lysbølgerne kommer fra et enkelt punkt. Du kan også se, at der er en serie af ”nuller” (punkter med en lysstyrke på nul) mellem de mindre toppe på begge sider af den centrale top.
Bredden af hovedtoppen og placeringen af nullerne og de mindre toppe, afhænger af to ting: størrelsen af linsen, og bølgelængden på lyset. For en given bølgelængde, giver større linser smallere toppe, og mindre linser giver bredere toppe. Og for en given linse, giver længere bølgelængder bredere toppe, og kortere bølgelængder giver smallere toppe. For at forstå hvorfor dette er sandt, så kig på figur 4.10.
Som vist i denne figur, er alle bølgerne fra alle punkter i fase, på det punkt med den største lysstyrke. Hvis man bevæger sig en smule væk fra brændpunktet, får det bølgerne fra kanten af linsen og centrum af linsen, til at være en smule ude af fase, så de danner mindre konstruktiv interferens med hinanden, og dermed en mindre lysstyrke. Når man bevæger sig længere væk fra brændpunktet, kommer bølgerne mere og mere ud af fase, og værdien på lysstyrken falder. Når du bevæger dig tilstrækkeligt langt væk fra brændpunktet, vil kant- og centerbølgerne være fuldstændig ude af fase (med 180º), så de udligner hinanden. Udligningen af bølgerne, giver en lysstyrke på nul, så PSF’en har et ”nul” på denne position. Hvis du fortsætter med at bevæge dig væk fra brændpunktet, vil nogle af bølgerne igen komme i fase, mens andre stadig er ude af fase, hvilket giver en serie af mindre toppe. Du kan se en detaljeret analyse af linseoperation i en bog om optik, men det vigtige for dig at forstå her er, at selv punktlyskilder ikke fokuserer i et enkelt sandt punkt – lyset er spredt over en lille region. Desto større den region er, desto mere ”udtværet” er billedet.
For at forstå, hvordan man relaterer graferne for PSF’erne med det billede du ser når du kigger gennem et teleskop, så kig på figur 4.11. Da graferne vist i figur 4.9 og 4.10 kun repræsenterer en enkelt skive gennem brændplanet, der dannes af kun en skive af linsen, kan det komplette billede der dannes af en cirkulær linse, ses som kombinationen af mange sådanne skiver, hver taget ved en forskellig vinkel. De roterede PSF’er kan samles til at lave den lysstyrkefunktion, der vises i den højre side af figur 4.11, hvilket er projekteret til brændplanet, som en lys prik omringet af koncentriske ringe. Punktet i midten, korresponderer med den lyse centrale top, og lysringene korresponderer med de mindre toppe i PSF’en. De mørke ringe korresponderer til nullerne i PSF’en. Dette ringmønster kaldes ”ringbølger” dannet af en linse af lyset fra en punktkilde, og den centrale lyse plet, kaldet ”ringpunktet”.
Så hvad har PSF’er og ringbølger med vinkelopløsning at gøre? For at forstå det, så kig på figur 4.12, der illustrerer bølger der kommer fra en kilde der befinder sig lidt over linsens akse.
Læg mærket til, at i dette tilfælde er brændpunktet hvor bølgerne er i fase, ligger under linsens akse, og toppen af PSF’en er forskudt nedad, i forhold til tilfældet i figur 4.9. Det samme gør sig gældende for kilder under linsens akse, hvor toppen af PSF’en vil befinde sig over linsens akse, som vist i figur 4.13.
I denne figur, er bølgernes retning indikeret med lige linjer (kaldet ”stråler”), for at gøre det nemmere af vise bølger fra to retninger, som rammer linsen. Som du kan se i figuren, danner de to kilder, to PSF’er, der kan overlappe hinanden (afhængig af vinkelspredningen mellem kilderne). Figur 4.14, viser to kilder og de korresponderende bølgepunkter på brændplanet. I dette tilfælde, er de to toppe tilstrækkeligt adskilt, til at vide at der eksisterer to separate kilder – disse to kilder siges at være ”opløste”.
Men forestil dig en situation, i hvilken vinkeladskillelsen mellem to kilder er lille nok til, at deres PSF’er betydeligt overlapper hinanden – ikke bare med deres mindre toppe, men også i hovedtoppen. Hvis toppene i PSF’en overlapper hinanden så meget, er det umuligt at se, om der er tale om to separate kilder eller en udvidet kilde – kilderne er ikke opløste.
Præcist hvor meget overlapning mellem toppene i PSF’erne kan tolereres før to kilder ikke kan skelnes fra en enkelt, større kilde? Der er adskillige kriterier til at fastslå om to kilder er opløste, men den mest almindelige er Rayleigh kriteriet. For at leve op til dette kriterie, skal adskillelsen mellem toppene i de to PSF’er, være mindst lige så stor, som adskillelsen mellem toppen og den første nul-værdi i en af PSF’erne, som illustreret i figur 4.15.
Ved at leve op til Rayleigh kriteriet sikres det, at der er et lille dyk i lysstyrken mellem toppene, og observatøren kan dermed se, at der er to separate kilder og ikke kun en udvidet kilde. Du kan se et eksempel på et billede med to kilder lige akkurat opløst ved Rayleigh kriteriet i figur 4.16.
Den sidste ting du skal overveje, før du kan forstå ligningen for vinkelopløsning baseret på Rayleigh kriteriet, blev nævnt tidligere: bredden af PSF’erne afhænger af lysets bølgelængde, og størrelsen på linsen eller spejlet. For enhver given bølgelængde, jo større linsen er, desto smallere er PSF’en. Så et teleskop med et stort apertur, danner en smallere PSF end et teleskop med et mindre apertur, som det er illustreret i figur 4.17.
Årsagen til dette er, at større linser har en større afstand fra kanten til centrum af linsen, og jo større den afstand er, desto mindre vinkel kræver det, at få kantbølgerne ud af fase med centerbølgerne. Og da større linser danner smallere PSF’er, er vinkelopløsningen for en stor linse bedre (det vil sigen den er mindre), en vinkelopløsningen for en mindre linse. Det betyder, at vinkelopløsningen for et teleskop, er omvendt proportional med aperturet:
| (4.9) |
hvor ”apertur” er diameteren på linsen eller spejlet.
Bredden på PSF’en, afhænger også af bølgelængden på lyset, fordi jo kortere bølgelængde, desto mindre vinkelskift skal der til, for at få kantbølgerne ud af fase med centerbølgerne. Det betyder, at vinkelopløsningen er direkte proportional med bølgelængden (λ):
| (4.10) |
4.3.2 – Beregning af vinkelopløsningen
Ved at kombinere proportionalitetsforholdene i ligning 4.9 og 4.10, får du:
| (4.11) |
eller
| (4.12) |
Hvis vinkelopløsningen er udtrykt i radianer, og enheden for λ er den samme som enheden for aperturet, er proportionaliteteskonstanten cirka 1,22 for en cirkulær linse. Derfor:
| (4.13) |
Dette kaldes for ”diffraktionsgrænseopløsning”, og den repræsenterer den bedst mulige opløsning, som et teleskop teoretisk ville kunne opnå – alle defekter i linsen eller spejlet, og turbulens i Jordens atmosfære, vil forringe vinkelopløsningen.
Eksempel 4.3.1: Et teleskop med en 10-tommers linse, anvendes til observation af himmelobjekter. Hvad er vinkelopløsningen for dette teleskop, i midten af det synlige elektromagnetiske område?
Da du bliver bedt om af finde vinkelopløsningen, og du har fået oplyst aperturets størrelse og bølgelængden (eller information som tillader dig at fastslå bølgelængden), kan ligning 4.13 hjælpe dig med at løse denne opgave.
Bølgelængderne for synligt lys, ligger fra omkring 400 nm til700 nm, så midten af det synlige spektrum, er omkring 550 nm. Men i denne opgave, er aperturets størrelse blevet oplyst i tommer, og ligning 4.13 kræver, at bølgelængde og aperturstørrelse har samme enheder. Du kunne konvertere nanometer til tommer, men det er nok lige så nemt, at konvertere både bølgelængde og aperturstørrelse til meter:
Når du indsætter disse værdier i ligning 4.13, får du:
der kan konverteres til buesekunder på følgende måde:
hvilket svarer til cirka et halvt buesekund, eller 0,00015º! Du skal dog ikke regne med at kunne bruge hele denne opløsning, når du observerer gennem Jordens atmosfære, hvilken typisk begrænser den højst opnåelige opløsning til 1” eller mere, selv under de bedst mulige forhold. Så hvad nytte har teleskoper der er større end nogle få tommer, hvis atmosfæren forhindrer dem i at opnå deres højeste teoretiske opløsning? Svaret er følsomhed – som vi nævnte i starten af dette afsnit, er en af fordelene ved at anvende et teleskop, evnen til at se svagere objekter. Og jo større aperturet er, desto mere lys kan teleskopet samle, og desto mere lysstærkt bliver billedet.
Da bølgelængde typisk er udtrykt i enheder der er meget mindre end enheden for aperturet, bruger nogle astronomibøger en version af ligning 4.13, i hvilken enhederne for bølgelængden er mikrometer (µm), og enhederne for aperturet er meter, og dette giver vinkelopløsningen i enheden buesekunder:
| (4.14) |