I mange naturvidenskabelige timer, er du måske blevet bedt om at beregne ting som, hvor lang tid det tager at bevæge sig en hvis strækning med en konstant hastighed, eller hvor lang tid en stjerne vil leve, hvis den forbrænder dens brændstof med en bestemt hastighed. Disse ”hastighedsopgaver”, er særdeles fremherskende i astronomi, og en fast hastighed der ofte optræder, er c, lysets hastighed.
1.3.1 – Afstands-, hastigheds-, og tidsopgaver
Du har nok allerede en intuitiv fornemmelse for, hvordan opgaver i forhold til afstand, hastighed, og tid løses. For eksempel hvor langt du vil komme, hvis du kører på din cykel med 10 km/t i 2 timer? For hver time, tilbagelægger du 10 km, så den samlede afstand du vil bevæge dig på 2 timer, er 20 km. Eller, hvor lang tid det vil tage at gå 12 km, med en hastighed på 3 km/t? Siden du tilbagelægger 3 km for hver time, vil det tage dig 4 timer at gå 12 km. Du har måske løst disse opgaver i hovedet, men hvad gjorde du præcist i hovedet for at komme frem til svarene?
Du brugte sandsynligvis et generelt forhold mellem afstand, hastighed og tid, der skal skrives således:
| (1.9) |
Her er den detaljerede beskrivelse af hvert af udtrykkene og operationerne i afstandsligningen:
afstand: Den samlede afstand der er tilbagelagt i den tid objektet bevæger sig, med dimensionen længde. Standardenheden (SI) for længde, er meter; Andre enheder der ofte anvendes i astronomi er kilometer (km), astronomiske enheder (AU), parsec (pc), og lysår (ly).
hastighed: Den rate hvormed objektet bevæger sig med, med dimensionerne længde over tid. SI enheden for hastighed, er meter per sekund (husk at ”per” betyder ”divideret med”); andre populære enheder inkluderer kilometer per sekund, og kilometer per time. I ligningen 1.9, antages hastigheden at være konstant.
· : Multiplikation af disse to mængder giver mening, fordi afstanden øges direkte, med både tiden og hastigheden. Det sikrer også, at enhederne bliver korrekte; for eksempel (km/s) x s = km.
tid: Den samlede tid, under hvilken objektet bevæger sig. SI enheden for tid er sekunder; andre enheder inkluderer minutter, timer, og år.
Ved at bruge denne relation, kan du bestemme værdien af hver enkelt af disse parametre, så længe du får oplyst de andre to. Ved at anvende denne ligning til to eksempler med at gå og cykle, kan du se at resultaterne passer med de intuitive svar, allerede givet.
I tilfældet med at du cykler med 10 km/t i 2 timer, er hastigheden og tiden givet, og du bliver bedt om at beregne afstanden. Ligningen har allerede afstanden alene på den venstre side af ligningen (det betyder at ligningen er ”løst i forhold til afstanden”), så du kan blot indsætte hastigheden og tiden:
I det andet eksempel med at gå 12 km med 3 km/t, er det afstanden og tiden der er oplyst, og du bliver bedt om at beregne tiden. Tiden befinder sig ikke allerede for sig selv på den ene side af ligningen, så du kan fortsætte på en ud af to måder. Det instinktive for de fleste elever er, at indsætte værdierne først, og så løse ligningen i forhold til tid. Vi anbefaler dog ikke denne fremgangsmåde. Hvis du løser ligningen omhyggeligt, og har styr på dine enheder, vil denne fremgangsmåde give det rigtige resultat på denne måde:
Nu dividerer vi med 3 km/t på begge sider, for at få tiden alene på den ene side:
| (1.10) |
Reducering af tallene og enhederne giver dig:
Bemærk, at for at reducere en sammensat brøk (det er en brøk inde i en brøk såsom (km)/(km/t)), kan du vende brøken om og gange med tælleren. Denne ”vende om og gange” reduktion, kan anvendes med både værdier og enheder, så for eksempel (4)/(2/3) = 4(2/3) = (12/2) = 6.
Den alternative måde at løse denne opgave på, og som er hurtigere og efterlader færre muligheder for fejl, er at løse ligningen 1.9 i forhold til den ønskede mængde først, inden værdierne indsættes. I dette tilfælde er tid den ønskede mængde. Du kam ”løse ligningen i forhold til tid”, ved at dividere begge sider af ligningen i 1.9 med hastighed:
| (1.11) |
Nu har du tiden for sig selv på den venstre side af ligningen, så du er klar til at indsætte de kendte numeriske værdier. Husk, at indsætte værdierne, bør altid være det allersidste trin:
En årsag til, at det er langt bedre at løse ligningen for den mængde du søger inden de numeriske værdier, kan ses ved at sammenligne ligning 1.10 (indsætte værdier inden ligningen løses) og ligning 1.11 (løse ligningen inden værdier indsættes). Du kan bruge ligning 1.11 til at løse alle opgaver, hvor du har fået oplyst afstand og hastighed, og bliver bedt om at finde tiden, så denne ligning, er løsningen til et væld af opgaver. Men hvis du først indsætter værdierne, som i ligning 1.10, han du kun løsningen på en bestemt opgave.
Det er også vigtigt for dig at realisere, at tids- og afstandsenhederne, skal være konsekvente gennem hele ligning 1.9 (og ligning 1.11), for at du kan udføre beregningen med numeriske værdier. Det betyder, at enheden i tidsudtrykket, skal matche enheden i nævneren på hastighedsenheden, og at enheden for afstandsudtrykket, skal matche enheden i tælleren på hastighedsenheden. Hvis ikke de matcher, er du nødt til at udføre en enhedskonvertering så de kommer til at passe sammen, inden de indsættes i ligningen, eller som en del af din beregning. For eksempel, hvis du får oplyst en afstand i parsec, og en hastighed i kilometer per sekund, er du nødt til at konvertere parsec til kilometer, for at kunne indsætte værdierne. Ligeledes, hvis du har en hastighed i meter per sekund, og en tid i år, skal du konvertere sekunder til år, eller år til sekunder. Du kan konvertere enhederne inden du indsætter værdierne, eller du kan indsætte de forskellige enheder, og så inkludere en konverteringsfaktor, som en del af beregningen.
Eksempel 1.3.1: Hvor langt bevæger lys sig (som bevæger sig med 3 x 108 m/s) på et år?
For at finde afstanden, er du nødt til at gange en hastighed (oplyst med enheden meter per sekund), med en tid (der er oplyst med enheden år). Dette kræver konvertering af enten sekunder til år i hastighedsudtrykket, eller år til sekunder i tidsudtrykket, før du kan gange. For at udføre den sidste konvertering, kan du bruge konverteringsfaktoren mellem sekunder og år, 1 år ↔ 31,5 millioner sekunder, som vi udledte i afsnit 1.1. Denne enhedskonvertering kan foretages som et separat trin inden vi indsætter værdierne for hastighed og tid ind i ligningen, eller konverteringsfaktoren kan inkluderes direkte i opgaven på denne måde:
Bemærk, at sekunder udligner hinanden, selv om udtrykkene ikke ligger i forlængelse af hinanden (fordi multiplikation er kommutativ, betyder udtrykkenes rækkefølge ikke noget). Ved at skrive udtrykket med videnskabelig notation (som vi kigger på i afsnit 1.4), får vi:
Dermed har du beregnet, at lys tilbagelægger en strækning på omkring 10 kvadrillioner meter – eller 10 milliarder kilometer – på et år. Dette er definitionen på et lysår, så i dette eksempel, har vi udledt endnu en nyttig konverteringsfaktor: 9,5 x 1015 m ↔ 1 år.
1.3.2 – Mængde-, rate-, og tidsopgaver
I den rateligning du lige har anvendt, afstand = hastighed x tid, kan generaliseres til en relation, som er brugbar under mange andre omstændigheder:
| (1.12) |
I denne generaliserede ligning, refererer udtrykket ”rate” ikke til hastigheden i form af afstand divideret med tid; det kan også referere til andre former for hastigheder, såsom hvor mange sider du kan læse per time, eller hvor mange penge du bruger per dag. Du har sikkert også en intuitiv fornemmelse for, at løse sådanne generaliserede rateopgaver i hverdagen. For eksempel, hvis du blev bedt om at beregne, hvor mange kager du spiste, hvis du spiste dem med en rate på 2 kager per dag i en uge, så ville du nok meget let realisere – uden at det var nødvendigt at skrive noget ned – at du ville spise 14 kager. Man hvad du gjorde i hovedet for at nå frem til det resultat, er fuldstændigt analogt med de trin vi brugte i afstands-, rate-, og tidsopgaven tidligere. I dette eksempel får du oplyste tiden (7 dage) og raten (2 kager per dag), og du bliver bedt om at beregne mængden. Ved at indsætte værdierne direkte ind i ligning 1.12, giver:
Her er hvordan du kan bruge ligning 1.12 på et eksempel, der ikke er så nemt at beregne i hovedet.
Eksempel 1.3.2: Hvis Solen har 9 x 1028 kg hydrogen tilgængeligt som brændstof, og hvis den bruger brændstof med en rate på 6 x 1011 kg/s, hvor lang tid, vil det tage Solen at bruge alt det tilgængelige brændstof?
Du får oplyst mængden af brændstof, og raten på brændstofforbruget, og bliver bedt om at beregne tiden. Først omarrangeres ligning 1.12, så tiden isoleres på den ene side, så ligningen bliver analog med ligning 1.11, får du:
eller
| (1.13) |
Først nu efter omarrangeringen, grupperes tallene og enhederne, og ligningen reduceres, så du får:
Dette er den tilbageværende levetid for Solen, hvorefter Jorden vil blive ubeboelig. Skal du være bekymret over, om dette vil ske i denne uge? I din levetid? I dine børnebørns levetid? I enheden sekunder, er Solens levetid sådan et stort tal, at de fleste mennesker ikke har en fornemmelse af, hvor lang tid det rent faktisk er. Du har allerede udledt en konverteringsfaktor til at omregne sekunder til år tidligere (31.563.000 s ↔ 1 år), så du kan beregne hvor lang tid Solen lever endnu:
I dette afsnit, har du set at du kan anvende raterelationerne i ligning 1.9 og 1.12, til at beregne en hvilken som helst mængde, hvis du kender de andre to. Du behøver måske at omarrangere ligningen for at isolere den mængde du forsøger at beregne, og du behøver måske også at inkludere en enhedskonvertering, for at opnå et konsistent sæt af enheder, som kan udligne hinanden. I det næste eksempel, vil du se hvordan man kan kombinere alle disse teknikker til en enkelt opgave.
Eksempel 1.3.3: Forestil dig, at du ønskede at tælle hver eneste af de 300 milliarder eller der omkring stjerner i vores galakse inden for et menneskes (lange) levetid på 90 år. Hvor stærkt skulle du tælle? Det er med hvilken rate (i enheden stjerner per sekund), skulle du tælle, for at kunne tælle 300 milliarder stjerner på 90 år?
Som med alle opgaver, er det en rigtig god ide, at nedskrive præcist hvad du har fået oplyst, hvad du forsøger at finde ud af, og hvilken relation der findes mellem disse mængder. I dette tilfælde, har du fået oplyst mængden der skal tælles (300 milliarder) og tiden (90 år), og du bliver bedt om at beregne raten. Du kender også den generaliserede rateligning 1.12, der relaterer mængde, tid og rate. Du bør starte med at løse den ligning, i forhold til rate:
Dette er faktisk den generelle definition på en rate: en mængde per tid. Nu indsætter du de værdier du er blevet oplyst, og indsætter samtidig konverteringsfaktoren, som konverterer år til sekunder, for at opnå den ønskede enhed, og så får du:
hvor vi har afrundet antallet af sekunder på et år af til 30 millioner for enkelthedens skyld. Ved at gruppere tallene og reducere, får man:
Det betyder, at du ville være nødt til at tælle mere end 100 stjerner hver sekund, i det meste af et århundrede, uden pauser til at spise eller sove, for blot at tælle stjernerne i vores egen galakse Mælkevejen. Og hvis det antal stjerner synes ubegribeligt, så husk på, at vores galakse kun er en ud af hundrede af milliarder galakser i det kendte univers.