Kepler kan have spekuleret på afhængigheden af Solens ”indflydelse” der holder planeterne i deres kredsløb, og Newton kan have spekuleret på, at denne indflydelse var tyngdekraften, men fysiske love er ikke et spørgsmål om spekulationer! Newton, kunne ikke måle tyngdekraften der virker mellem to objekter direkte i sit laboratorie, så hvordan afprøvede han sin universelle tyngdelov?
Newton brugte sine love om bevægelse og hans foreslåede tyngdelov, til at beregne de baner som planeterne skulle følge, som de bevæger sig sundt om Solen. Hans beregninger forudsagde, at planeternes baner skulle være ellipser, med Solen i det ene brændpunkt, at planeter skulle bevæge sig hurtigere desto tættere de var på Solen, og at kvadratet på en planets omløbstid skulle variere som en potens af den halve storakse i denne elliptiske bane. Med andre ord, forudsagde Newtons universelle tyngdelov, at planeterne skulle kredse om Solen på præcis den måde, som Keplers empiriske love beskrev. Dette var øjeblikket hvor alt faldt på plads. Ved at forklare Keplers love, havde Newton fundet en vigtig styrkelse af hans tyngdelov. I denne proces, flyttede han det kosmologiske princip, ud af riget for interessante ideer, og ind i riget for testbare videnskabelige teorier. For at se hvordan dette skete, er vi nødt til at tage et kig under overfladen af, hvordan videnskabsfolk griber det an, og forbinder deres teoretiske ideer med begivenheder i den virkelige verden.
Newtons love, fortæller os hvordan et objekts bevægelse ændres, som svar på kræfter og hvordan objekter interagerer med hinanden gennem tyngdekraften. For at gå fra udtalelser om hvordan et objekts bevægelse ændres, til mere praktiske udtalelser om hvor et objekt er, bliver vi nødt til nøje at ”sammenlægge” objektets bevægelse over tid. Newton brugte en beregning, han var med til at opfinde mens han studerede, for at gøre dette, men vi vil kun sigte efter en begrebsmæssig forståelse. På Newtons tid, var det tætteste man kunne komme på at få tunge genstande til at flyve, at affyre kanonkugler ud af en kanon, så Newton brugte kanonkugler i hans tankeeksperimenter til hjælp for hans forståelse af planetære bevægelser.
Newton affyrer et skud rundt om Jorden
Tab en kanonkugle og den falder direkte mod Jorden, præcis som en hvilken som helst anden masse gør det. Hvis du i stedet affyrer kanonkuglen ud af en kanon der er i niveau med Jorden, som vist i figur 3.19a, opfører den sig anderledes.
Kanonkuglen falder stadig til jorden på den samme tid som tidligere, men mens den falder, bevæger den sig også hen over jorden, og følger en kurvet bane, der fører den væk i en horisontal retning, inden den rammer jorden. Jo hurtigere kanonkuglen affyres fra kanonen (figur 3.19b), desto længere væk vil den nå, før den rammer jorden.
I den virkelige verden har dette eksperiment en naturlig grænse. For at bevæge sig gennem luften, skal kanonkuglen skubbe luften væk fra sig – en effekt der normalt omtales som luftmodstand – og dette bremser den. Men fordi dette kun er et tankeeksperiment, kan vi ignorere sådanne komplikationer fra den virkelige verden. Forestil dig i stedet, at under inerti, fortsætter kanonkuglen i sin bane, indtil den støder ind i noget. Hvis kanonkuglen affyres hurtigere og hurtigere, når den længere og længere væk, før den rammer jorden. Hvis kanonkuglen flyver langt nok, begynder Jordens krumning at have en betydning, Jordens overflade krummer under den (figur 3.19c). Til sidst nås et punkt, hvor kanonkuglen flyver så hurtigt, at Jordens overflade krummer væk under den, med nøjagtig samme hastighed, som kanonkuglen falder mod jorden med (figur 3.19d). Når dette sker vil kanonkuglen, der altid falder mod midten af Jorden, på en måde ”falde” omkring Jorden, med en hastighed der kaldes den cirkulære hastighed
I 1957, brugte det daværende Sovjetunionen, en raket til at løfte et objekt på omkring samme størrelse som en basketball, højt nok over Jordens atmosfære, til at luftmodstanden ophørte med at have indflydelse, og Newtons tankeeksperiment blev til virkelighed. Dette objekt, kaldet Sputnik 1, bevægede sig så hurtigt, så det faldt omkring Jorden, præcis som Newtons tænkte kanonkugle gjorde det. Sputnik 1, var det første menneskeskabte objekt, der kredsede om Jorden. Faktisk defineret et kredsløb, som et objekt der falder frit omkring et andet.
Begrebet om kredsløb, besvarer også spørgsmålet om, hvorfor en astronaut flyver frit omkring i cockpittet på et rumfartøj. Det er ikke fordi de er undsluppet fra Jordens tyngdekraft. I stedet ligger svaret gemt, i Galileos tidlige observation af, at alle objekter falder med samme hastighed, uanset deres masse. Astronauterne og rumfartøjet, er begge i kredsløb omkring Jorden, bevæger sig i samme retning, med samme hastighed, og oplever den samme tyngdeacceleration, så de falder mod Jorden sammen. Figur 3.20, illustrerer denne pointe. Astronauten kredser om Jorden, præcis som rumfartøjet kredser om Jorden. På Jordens overflade, forsøger din krop, at falde mod Jordens centrum, men overfladen kommer i vejen for dette. Du oplever din vægt når du står på Jorden, fordi jorden skubber igen, for at modvirke tyngdekraften, som trækker dig ned. I rumfartøjet, er der derimod ikke noget der forhindrer astronautens fald, fordi rumfartøjet falder omkring Jorden i præcist samme kredsløb. Astronauten er ikke i sandhed ægte vægtløs; i stedet er astronauten i frit fald.
Når et objekt falder omkring et andet, meget mere massivt objekt, siger vi at de mindst massive objekt er en satellit til det mere massive objekt. Planeter er satellitter til Solen, og måner er naturlige satellitter til planeterne. Newtons tænkte kanonkugle er en satellit. Sputnik 1, den første kunstige satellit (sputnik betyder ”satellit” på russisk), var en tidlig forløber for rumfartøjer og astronauter, der er uafhængige satellitter omkring Jorden, der tilfældigvis og bekvemt, deler det samme kredsløb.
Hvilken hastighed er nødvendig, for at opnå et kredsløb?
Hvor hurtigt skal Newtons kanonkugle så affyres, for at den begynder at falde omkring Jorden? Kanonkuglen bevæger sig langs en cirkulær bane, med en konstant hastighed. Denne type af bevægelse, kaldes for jævn cirkelbevægelse. Et andet eksempel på en jævn cirkelbevægelse, er en bold der hvirvler rundt om dit hoved i en snor (figur 3.21a). Hvis du slipper snoren, ville bolden flyve afsted i en lige linje, i hvad end retning den bevægede sig i, præcis som Newtons første lov siger. Snoren udøver en jævn kraft på bolden, forårsager at den konstant ændrer retning i dens bevægelse, og afbøjer altid dens bevægelsesretning mod centrum af cirklen den flyver i. Denne centrale kraft kaldes en centripetalkraft. Ved at bruge en mere massiv bold, øge boldens bevægelseshastighed, gøre omløbscirklen mindre – alle disse ting, øger kraften der behøves, for at forhindre at bolden farer afsted i en lige linje på grund af dens inerti.
I tilfældet af Newtons kanonkugle (eller en satellit), er der ikke nogen snor til at holde kuglen i en cirkulær bane. I stedet bliver den centripetale kraft leveret af tyngdekraften (figur 3.21b). For at Newtons tankeeksperiment skal virke, skal tyngdekraftens påvirkning være præcis stor nok, til at holde kanonkuglen i dens cirkulære bane. Fordi denne kraft har en specifik styrke følger det, at satellitten skal bevæge sig med en bestemt hastighed omkring i cirklen, hvilket er dens cirkulære hastighed (vcirc). Hvis satellitten bevægede sig ved en hvilken som helst anden hastighed, ville den ikke bevæge sig i en cirkulær bane. Hvis du husker på kanonkuglen; hvis den bevægede sig for langsomt, ville den falde under den cirkulære bane og falde til jorden. Ligeledes hvis den bevægede sig for hurtigt, ville dens bevægelse bevæge sig ud over den cirkulære bane. Kun en kanonkugle der bevæger sig med præcis den rette hastighed – den cirkulære hastighed – ville falde omkring Jorden i en cirkulær bane (figur 3.19d). Cirkulær hastighed forklares nærmere i Matematiske værktøjer 3.2.
Planeter er præcis som Newtons kanonkugle
Vi kan anvende den samme idé på Jordens bevægelse omkring Solen. I tilfældet med Jordens kredsløb, ved vi allerede fra vores behandling af stjernelysets forskydning, at Jorden bevæger sig med en hastighed på 2,98 · 104 m/s (eller 29,8 km/s) i dens bane omkring Solen. Vi ved også, at Jordens banes radius er 1,50 · 1011 meter. Så vi ved alt omkring det næsten cirkulære omløb, undtagen Solens masse. Hvis vi springer et skridt eller to over, og tilføjer lidt matematik til ligningen for vcirc Solens masse (
) som:
Igen, tager lidt leg med ligningen, os til steder vi måske ikke forestillede os. Vi begyndte med Newtons tankeeksperiment om en kanonkugle, der blev affyret rundt omkring Jorden, og endte op med at kende massen på den stjerne som vores planet kredser om.
Og når vi nu er ved det, kan vi bære vores leg et skridt videre. Keplers tredje lov fortæller om den tid, det tager en planet at fuldføre et kredsløb omkring Solen. Den tid det tager et objekt at fuldføre en tur rundt om cirklen er lig med cirklens omkreds (2π · r) divideret med objektets hastighed (tid er lig med afstanden divideret med hastigheden). Hvis objektet er en planet i en cirkulær bane omkring Solen, så skal hastigheden være lig med den cirkulære hastighed som vi har beregnet. Ved at bringe dette samme, får vi:
Lidt matematik giver os:
Igen, har vores leg frembragt noget interessant. Perioden i anden potens, er lig med en konstant (
) ganget med radiussen i tredje potens.
De fleste kredsløb er ikke perfekte cirkler
Nogle jordsatellitter – som Newtons tænkte kanonkugle – bevæger sig langs en cirkulær bane, med en konstant hastighed. Satellitter, der bevæger sig med den cirkulære hastighed, forbliver i den samme afstand til Jorden på alle tider, og hverken øger eller sænker hastigheden. Men lad os nu ændre reglerne lidt. Hvad hvis en satellit var på det samme sted i dens bane og bevægede sig i den samme retning, men bevægede sig hurtigere end den cirkulære hastighed? Jordens tyngdekraft er den samme som altid, men fordi satellitten har en højere hastighed, bliver dens bane ikke afbøjet nok af Jordens tyngdekraft, til at holde den i en cirkel. Satellitten begynder at bevæge sig ud over et cirkulært omløb.
Som afstanden mellem Jorden og satellitten begynder at øges, begynder der at ske en interessant ting. Tænk på en bold der kastes op i luften som vist i figur 3.22a. Som bolden bevæger sig højere, modvirker Jordens tyngdekraft dens bevægelse, og sænker boldens hastighed. Bolden bevæger sig langsommere og langsommere opad, indtil dens lodrette bevægelse helt stopper i et kort øjeblik, for derefter at blive vendt; bolden begynder at falde mod Jorden mens den øger sin hastighed. Vores satellit vil gøre nøjagtigt det samme som bolden. Som satellitten begynder at bevæge sig uden for det cirkulære kredsløb og begynder at bevæge sig længere og længere væk fra Jorden, begynder Jordens tyngdekraft at modvirke satellittens udadgående bevægelse og bremser satellitten ned. Jo længere satellitten bevæger sig væk fra Jorden, desto lavere hastighed bevæger den sig med – præcis hvad der skete for bolden vi kastede op i luften. Og ligesom bolden, når satellitten dens maksimale afstand fra Jorden i sin bane og begynder herefter at falde tilbage mod Jorden. Nu, som satellitten falder tilbage mod Jorden, trækker Jordens tyngdekraft i samme retning, hvilket forårsager at satellitten øger hastigheden mens den kommer tættere og tættere på Jorden. Satellittens kredsløb er ændret fra cirkulært til elliptisk.
Hvad der er sandt for en satellit der kredser om Jorden i et sådan elliptisk kredsløb, er også sandt for ethvert objekt i et elliptisk kredsløb, inklusiv en planet der kredser om Solen. Som vi så tidligere, siger Keplers lov om lige arealer, at en planet bevæger sig hurtigst, når den er tættest på Solen og langsomst når den er længst væk fra Solen. Nu ved vi hvorfor. Som vist i figur 3.22b, mister planeter hastighed som de bevæger sig væk fra Solen og øger hastighed når de falder tilbage ind mod Solen.
Newtons love gør andet end at forklare Keplers love. Newtons love, forudsiger også forskellige typer kredsløb, der ligger uden for Keplers empiriske erfaringer. Figur 3.23a, viser en serie af satellitkredsløb, alle tættest på Jorden i det samme punkt, men med forskellige bevægelseshastigheder på det punkt, som vist i figur 3.23b. Et kig på figuren viser, at desto højere hastighed en satellit bevæger sig med når den er tættest på Jorden, desto længere væk fra Jorden kan satellitten komme og desto mere excentrisk er dens bane. Det er dog underordnet, hvor excentrisk en bane er. Så længe banen er excentrisk, vil kredsløbet til sidst bringe satellitten tilbage til den planet den kredser om, eller bringe en planet tilbage til Solen. Alle omløb af denne type, kaldes et bundet kredsløb fordi satellitten er tyngdekraftmæssigt bundet til det objekt som den kredser om.
Du kan nok forestille dig, at et eller andet sted i denne sekvens af satellitter der bevæger sig hurtigere og hurtigere, når vi et punkt hvorfra der ingen vej er tilbage – et punkt, hvor satellitten bevæger sig så hurtigt, at tyngdekraften ikke er i stand til at vende dens udadgående bevægelse, så satellitten farer afsted væk fra Jorden, uden nogensinde at vende tilbage. Dette er faktisk muligt. Den mindste hastighed hvor dette kan lade sig gøre, kaldes undvigelseshastigheden (vesc) (Se Matematiske værktøjer 3.3).
Når først et objekt når undvigelseshastigheden, befinder det sig i et ubundet kredsløb. Det betyder, at objektet ikke længere er tyngdekraftmæssigt bundet til det primære objekt hvorom det kredser, for eksempel en planet eller en komet der kredser om Solen. Da Newton opdagede sine ligninger om bevægelse, fandt han, at ubundne kredsløb, er formet som hyperboler eller paraboler. Som du kan se i figur 3.23, vil et objekt hvis hastighed er mindre end undvigelseshastigheden, have et elliptisk formet kredsløb. Elliptiske kredsløb lukker sig om sig selv. Det betyder, at et objekt der kredser i et elliptisk kredsløb, vil følge den samme bane igen og igen. En hyperbol lukker sig ikke som en ellipse, men fortsætter med at åbne sig mere og mere, som vist i figur 3.23a. For eksempel, en komet der har en hyperbolsk bane har kun en passage rundt om Solen, før den atter fortsætter ud i rummet, for aldrig at vende tilbage. Den tredje type kredsløb er grænsetilfældet, i hvilket det omkredsende objekt, bevæger sig med nøjagtig undvigelseshastigheden. Hvis det havde haft en lavere hastighed, ville det bevæge sig i et bundet elliptisk kredsløb; hvis det havde haft en højere hastighed, ville det bevæge sig i et ubundet hyperbolsk kredsløb. Et objekt, der bevæger sig med en hastighed der er lig med undvigelseshastigheden, følger et ”parabolsk kredsløb” og, som ved hyperbolske kredsløb, passerer de kun det primære objekt en gang. Som et objekt der kredser i et parabolsk kredsløb fjerner sig fra det primære objekt, nærmer dets relative hastighed i forhold til det primære objekt, sig mere og mere nul, men når aldrig til en hastighed på nul. Et objekt der kredser i en hyperbolsk bane, har altid en relativ hastighed der er større i forhold til det primære objekt, selv når det er nået uendeligt langt væk.
Newtons teori, er et kraftfuldt værktøj til måling af masse
Som tidligere nævnt, beskriver Keplers empiriske love planeternes bevægelser, men forklarer dem ikke. På baggrund af Keplers love alene, kunne vi lige så godt forestille os, at engle bar planeterne rundt i deres baner, ligesom mange folk gjorde i det 16ende århundrede! Newtons udledning fra Keplers love, ændrede dog på det. Newton viste, at de samme fysiske love der beskrev bevægelsen af en kanonkugle på Jorden – eller det apokryfiske fald af æblet på hans hoved – også beskriver planeternes bevægelser gennem himmelrummet. På denne måde, splintrede Newton det fremherskende koncept om himmelrummet og Jorden, og åbnede samtidig op for en helt anden måde at undersøge universet på. Kopernikus, havde fjernet Jorden fra universets centrum og satte os på vejen til det kosmologiske princip, men det var Newton der flyttede det kosmologiske princip ud af filosofiens verden om ind i den testbare videnskabelige teoris verden. Og det var gennem Newtons arbejde, astrofysikken blev født.
Newtons metode var ikke kun mere filosofisk tilfredsstillinde en den simple empiriske – den er også langt mere kraftfuld. Vi har for eksempel allerede set, hvordan Newtons love kan bruges til at måle Jordens og Solens masse. En beregning som disse, kunne ikke være blevet foretaget med Keplers empiriske love. Dette faktum er specielt vigtigt, når vi husker på, at Newtons love gælder for alle objekter, og ikke kun Jorden og Solen. Den vil også vise sig brugbar, som vi fortsætter vores rejse.
Astronomer bruger Newtons udgave af Keplers tredje lov, til at beregne masserne på planeter, stjerner og andre himmellegemer. Når de gør dette, ændrer de Newtons form af loven til at sige:
Alt på den højre side af denne ligning, er enten en konstant (som for eksempel 4, π og G), eller en størrelse vi kan måle (som for eksempel den halve storakse A og perioden P af et kredsløb). Den venstre side af ligningen, er objektets masse ved brændpunktet af ellipsen.
Det er vigtigt at bemærke, at vi har taget et par genveje, for at nå til dette punkt. For det første, nåede vi frem til denne sammenhæng ved at tænke på cirkulære kredsløb, og antog så blot, at dette også gjaldt for elliptiske kredsløb også. An anden genvej vi også har taget er, at antage at en let objekt som for eksempel en kanonkugle, kredser omkring et mere massivt objekt, som for eksempel Jorden. Jordens tyngdekraft, en stor indvirkning på kanonkuglen; men som vi har set, har kanonkuglens tyngdekraft en lille indvirkning på Jorden. Af denne årsag, kan vi forestille os, at Jorden forbliver stillestående, mens kanonkuglen følger sin elliptiske bane. Ligeledes, er det en god tilnærmelse at sige, at Solen forbliver stillestående, mens planeterne kredser omkring den.
Dette billede ændrer sig dog, når to objekter er tættere på at have den samme masse. I dette tilfælde oplever begge objekter betydelig accelerationer, som svar på deres fælles tyngdekraftmæssige tiltrækning. Massen M, henviser nu til summen af masserne på de to objekter, der begge kredser om et fælles massemidtpunkt, placeret mellem dem.. Vi skal nu tænke de to objekter som faldende rundt om hinanden, med hver af masserne, bevægende sig omkring i dens egen ellipseformede kredsløb omkring deres fælles massemidtpunkt. Så, hvis vi kan måle størrelsen og perioden på et kredsløb – ethvert kredsløb – så kan vi bruge denne ligning til beregning af massen af det omkredsende objekt. Dette er ikke kun sandt for masserne for Jorden og Solen, men også for masserne på andre planeter, fjerne stjerner, vores egen galakse, fjerne galakser og enorme galaksehobe. Faktisk viser det sig, at næsten al vores viden om masserne på astronomiske objekter, er afledt direkte fra brug af denne ene ligning. På en måde, kan denne ene ligning, tilmed tillade os af tackle spørgsmålet, ”Hvad er massen på selve universet?”.
Du kan meget vel undre dig over, hvorfor vi har taget en så lang, og til tider anstrengende udflugt, gennem Galileos, Keplers og Newtons arbejde. Nogle gange når man er på bjergvandring, kan det være svært at få øje på toppen, ved at iagttage sporet man følger. Nu da vi er ankommet til toppen af dette særlige bjerg, kan vi se os omkring og værdsætte det vi har opnået. Da Newton foretog sine beregninger, fandt han at hans love for bevægelse og tyngdekraft, forudsagde elliptiske baner, der er nøjagtig de samme, som med Keplers empiriske love. Dette er måden, hvorpå Newton testede hans teori om, at planeter overholder de samme love for bevægelse som kanonkugler og sådan han fik bekræftet, at hans teori om tyngdekraft var korrekt. Havde Newtons love ikke kunne blive bekræftet ved observation, havde han være nødt til at smide dem i skraldespanden og begynde forfra!
Keplers empiriske love for planetbevægelser, pegede Newton i de rigtige retning, og tilvejebragte de vigtige observerbare tests af Newtons love for bevægelse og tyngdekraft. Samtid, bidrog Newtons love om bevægelse og tyngdekraft, til en kraftfuld ny forståelse af, hvorfor planeter og satellitter bevæger sig som de gør. Teori og empirisk observation går sammen hånd i hånd, og vores forståelse af universet drives fremad. Kopernikus, Galileo, Kepler og Newton arbejder, var ikke kun en videnskabelig revolution; det var den videnskabelige revolution, der for altid ændrede vores opfattelse af universet, men også vores definition af hvad ”at vide” betyder.
Vi lovede at vise, hvordan videnskaben fungerer. Så, det er sådan her videnskaben fungerer!