Tab en bold og bolden falder mod jorden og opsamler hastighed som den falder. Den accelererer mod Jorden. Newtons anden lov siger, at hvor der er acceleration, er der en kraft. Men hvor er den kraft, der får bolden til at accelerere? Mange af de kræfter, som vi ser i hverdagen, involverer ”direkte kontakt” mellem objekter. Stødballen hamrer ind i 8-ballen og banker den ned i hullet. Barnets sko skubber, der skubber på langs af vognen er i direkte kontakt med overfladen af vejbelægningen. I de tilfælde hvor der er fysisk kontakt mellem to objekter, er kilden til kræfterne der virker mellem dem, let at få øje på. Men bolden der flader mod Jorden, er et eksempel på en anden slags kraft, en der virker på afstanden af det tomme rum mellem to objekter. Vi begyndte dette kapitel, med en kvalitativ beskrivelse af den grundlæggende rolle, som tyngdekraften spiller i universet. Efter at have kigget på både Keplers empiriske beskrivelse af planeternes bevægelse omkring Solen og Newtons love, vender vi os nu mod tyngdekraften, for det er tyngdekraften der forbinder disse to søjler af empirisk og teoretisk videnskab.
Du bliver nok ikke overrasket over, at det endnu engang er Newton vi venderos i mode, for en universal tyngdelov. På dette tidspunkt i en grundlæggende lærebog, er det almindeligt blot at præsentere Newtons tyngdelov som en ”færdig pakke” og gå direkte videre til dens anvendelse, men en sådan overspringshandling, vil undlade et af de mest interessante aspekter på denne strækning af vores rejse. En almindelig misforståelse af, hvordan videnskaben fungerer, er forestillingen om, at nye teorier bare dukker fuldt færdige op i hovedet på en videnskabsmand, som ved et trylleslag. Denne idé er helt sikkert understøttet af den apokryfe folkeskolehistorie om æblet der flader ned i hovedet på Newton og bogstaveligt talt, banker tanken om tyngdekraften ind i hans hjerne. Man kunne næsten få den tanke, at videnskabelige teorier er vilkårlige – at Newton kunne have opfundet en anden udgave af en tyngdelov, der ville have fungeret lige så godt. Selv om det ved første øjekast kan synes, at hans arbejde var vilkårligt, kunne intet være længere fra sandheden. Hvorfra fik Newton så sine ideer om tyngdekraften fra? Hvad vejledte ham til udvikling af disse ideer og hvordan gjorde han den til en teori med testbare forudsigelser? Hvordan fik kan konfronteret denne teori i den eksperimentelle og observerbare smeltedigel? Ved at besvare disse spørgsmål, i stedet for blot at angive Newtons tyngdelov, får vi et indblik i, hvordan videnskab fungerer.
Hvor kommer teorier fra? Newton ræsonnerede sig til tyngdeloven
Som ved inerti, begynder historien om tyngdekraften med Galileos indsigt og observation. Galileo opdagede eksperimentelt, at alle frit faldende genstande, accelererer mod Jorden i samme tempo, uanset deres masse. Tab en marmorkugle og en kanonkugle på samme tid og fra samme højde og de vil ramme jorden samtidig (hvis bevis for at dette ikke alene er en egenskab af Jordens tyngdekraft, blev dette bevis leveret af astronaut David Scott på Månens overflade – figur 3.15). Tyngdeaccelerationen nær Jordens overflade, også målt eksperimentelt af Galileo, er normalt skrevet som g og har en gennemsnitlig værdi på 9,2 m/s2. Uanset om du taber en marmorkugle eller en kanonkugle, vil den faldende hastighed efter 1 sekund være 9,8 m/s, efter 2 sekunder falder de med 19,6 m/s og efter 3 sekunder med 29,4 m/s (disse tal forudsætter, at vi kan se bort fra luftmodstanden, der er rimelig ubetydelig for relativt massive objekter der bevæger sig med langsomme hastigheder).
Efter at have udarbejdet de love der gælder for bevægelse af objekter, så Newton noget dybere i Galileos resultater. Newton indså, at hvis alle objekter falder med samme acceleration, så kan tyngdekraften der virker på et objekt, bestemmes ud fra objektets masse. For at se hvordan, så kig igen på Newtons anden lov (acceleration er lig med kraften divideret med massen, eller a = F/m). Den eneste måde tyngdeaccelerationen kan være den samme for alle objekter er, hvis værdien af kraften divideret med massen, er lig med det samme for alle objekter. Da kraften og massen er proportionale, så vil større masse ledsages af en stærkere tyngdekraft. Med andre ord, tyngdekraften på et objekt på Jorden, er ifølge Newtons anden lov, objektets masse gange tyngdeaccelerationen, eller Fgrav = m · g. Gør objektet dobbelt så massivt og du fordobler tyngdekraften der virker på det. Gør objektet tre gange så massivt og du tredobler tyngdekraften der virker på det.
Mere præcist, bliver tyngdekraften der virker på et objekt, almindeligvis omtalt som objektets vægt. På Jordens overflade, er vægten blot massen ganget med tyngdeaccelerationen g. På grund af vores daglige brug af sproget, er det let at se hvorfor folk forveksler masse og vægt. Vi siger ofte at en genstand med en masse på 2 kg ”vejer” 2 kg, men det er mere korrekt at udtrykke en vægt i form af newton:
hvor Fvægt er et objekts vægt i newton, m er objektets masse i kilogram og g er Jordens tyngdeacceleration.
På Jorden, har en genstand med massen 2 kg en vægt på 2 kg · 9,8 m/s2, eller 19,6 N. På Månen, hvor tyngdeaccelerationen er 1,6 m/s2, ville 2 kg massen have en vægt på 2 kg · 1,6 m/s2, eller 3,2 N (figur 3.16). Selvom massen forbliver den samme uanset hvor du er, afhænger vægten af hvor du er. På Månen er din vægt omkring en sjettedel af din vægt på jorden.
Newtons næste store indsigt, kom fra at anvende sin tredje lov om bevægelse til tyngdekraften. Husk, at Newtons tredje lov siger, at for hver kraft er der en lige stå stor med modsatrettet kraft. Derfor, hvis Jorden udøver en kraft på 19,2 N på en 2 kg masse der ligger på overfladen, så må den 2 kg masse også udøve en kraft på 19,2 N mod Jorden. Hvis du smider en kanonkugle på 20 kg, falder den mod Jorden, men samtidig falder Jorden også mod den 20 kg kanonkugle! Grunden til at vi ikke bemærker denne bevægelse af Jorden er, at Jorden er meget massiv. Den af en stor modstandskraft med ændringer i dens bevægelse. På den tid det tager den 20 kg tunge kanonkugle af fade til jorden fra 1 km højde, er Jorden ”faldet” mod kanonkuglen med cirka. 3,4 · 10-21 m, hvilket kun er omkring 1/300 af størrelsen på en elektron!
Newton ræsonnerede, at dette forhold burde virke for begge objekter. Hvis fordoblingen af massen på et objekt, fordobler tyngdekraften der virker mellem objektet og Jorden, så ville en fordobling af massen på Jorden gøre det samme. Kort sagt, skal tyngdekraften der virker mellem Jorden og et objekt, være lig med produktet af de to masser ganget med ”et eller andet”:
Hvis massen af objektet var tre gange større, så ville tyngdekraften også være tre gange større. Ligeledes, hvis massen af Jorden var tre gange større end den er, ville tyngdekraften også være tre gange større. Hvis både massen af Jorden og massen af objektet var tre gange større, ville tyngdekraften stige med en faktor på 3 · 3 eller 9 gange. Fordi genstande falder mod midten af Jorden ved vi, at denne kraft er en tiltrækkende kraft, der virker langs en linje mellem de to masser.
”Og på den måde”, ræsonnerede Newton ”Hvorfor begrænser vi vores opmærksomhed mod Jordens tyngdekraft?” Hvis tyngdekraften er en kraft, der er afhængig af massen, så bør der være en tyngdekraft mellem enhver to masser. Antag at vi har to masser – kald dem masse1 og masse2 eller m1 og m2 for nemheds skyld. Tyngdekraften mellem dem er da, ”et eller andet” ganget med produktet af masserne:
Vi er nået så langt, blot ved at kombinere Galileos observationer af faldende genstande med (1) Newtons love og (2) Newtons tro på, at Jorden er en masse ligesom en hvilken som helst anden masse. Der har ikke været nogle afvigelser – der er ikke noget vilkårligt i, hvad vi har gjort. Men hvad med det ”et eller andet” i de foregående ligninger? I dag har vi instrumenter der er følsomme nok til, at vi kan sætte to masser tæt på hinanden i et laboratorium, måle den kraft der virker mellem dem og bestemme værdien af ”et eller andet ” direkte. Newton havde dog ikke nogle af disse instrumenter. Han måtte søge andre steder, for at kunne fortsætte sin udforskning af tyngdekraften.
Det viste sig, at Kepler allerede havde tænkt over dette spørgsmål. Han ræsonnerede, at fordi Solen er omdrejningspunktet for planeternes baner, er Solen ansvarlig for, at udøve sin indflydelse på planeternes bevægelser. Kepler tænkte, at uanset hvad denne indflydelse var, måtte den blive svagere som afstanden til Solen blev større (det kræver vel efter alt, en stærkere indflydelse at holde den hurtigt farende Merkur fast i sit tætte hurtige kredsløb, end det gør at holde de ydre planeters langsommelige vandring fast langs deres baner om Solen). Keplers spekulation gik endnu videre. Selv om han ikke kendte til kræfter, inerti eller tyngdekraften, vidste han en hel del om geometri og geometrien alene foreslog, hvordan Solens ”indflydelse” ændrer sig gradvist som planeterne er placeret længere væk fra Solen.
Som Kepler måske selv spekulerede på, så forestil dig at du har en hvis mængde gips til rådighed til spredning over en kugles overflade. Hvis kuglen er lille, vil du få en tyk skal af gips, men hvis kuglen er større, skal gipsen spredes over et større areal og skallen bliver tyndere. Overfladearealet for en kugle, afhænger af kvadratet på kuglens radius. Fordobles radius af en kugle, bliver kuglens overfladereal fire gange så stor. Hvis du kommer gips på denne nye, større kugle, skal din gips nu dække fire gange så stort et areal og tykkelsen af gipsen, bliver kun en fjerdedel af hvad den var på den mindre kugle. Tredobler du radius af kuglen, bliver kuglens overfladeareal ni gange så stort og tykkelsen på gipsen bliver derfor kun en niendedel så tyk som på den mindre kugle.
Kepler mente, at den indflydelse som solen udøver på planeterne, kunne være ligesom gipsen i dette eksempel. Som Solens indflydelse udvides længere og længere ud i rummet, skulle den sprede sig, for at dække overfladen af en større og større imaginær kugle, centreret på Solen (vi vil senere lære, at lys virker på nøjagtig den måde). Hvis dette er korrekt bør, ligesom tykkelsen på gipsen, Solens indflydelse være proportional med 1 divideret med kvadratet på afstanden mellem Solen og en planet. Vi betegner dette forhold som afstandskvadratloven.
Kepler havde en interessant idé, men ikke en videnskabelig teori, med testbare forudsigelser. Hvad han manglede, var en god idé om hvad den sande kilde til denne indflydelse var og de matematiske værktøjer til at beregne, hvordan et objekt ville flytte sig under en sådan indflydelse. Newton havde begge. Hvis tyngdekraften er en kraft mellem to objekter, så bør der være en tyngdekraftspåvirkning mellem Solen og hver af planeterne. Kan denne tyngdekraftspåvirkning være den samme som Keplers ”indflydelse”? Hvis ja, så kan det ”noget” i Newtons udtryk for tyngdekraften være et begreb, der mindskes ifølge kvadratet på afstanden mellem to objekter. I det væsentlige, kan tyngdekraften opføre sig efter afstandskvadratloven. Newtons udtryk for tyngdekraften, kom nu til at se således ud:
Der er stadig et ”noget” tilbage i dette udtryk, og vi kan nu indse, at dette ”noget” er en proportionaliteteskonstant. Newton gættede på, at denne konstant var et mål for den indre styrke af tyngdekraften mellem to objekter, og at den ville vise sig at være den samme for alle objekter. Han kaldte konstanten for den universale gravitationskonstant, skrevet som G. Værdien af G er 6,673 · 10-11 N·m2/kg2 (eller dens ækvivalent, m3/kg·s2).
Brikkerne sættes sammen: En universel lov for tyngdekraft
Newton havde gode ræsonnementer i hvert skridt han tog i sine spekulationer om tyngdekraften – ræsonnementer direkte koblet til observationer af hvordan ting i verden opfører sig. Newtons kæde af logik og ræsonnement, bragte ham frem til, hvad der i dag er blevet kendt som Newtons universelle tyngdelov. Denne lov, illustreret i figur 3.17, hedder, tyngdekraften er en kraft mellem to objekter med masse og har disse egenskaber:
1. Det er en tiltrækkende kraft, der virker langs en lige linje mellem de to objekter.
2. Den er proportional med massen af et objekt ganget med massen af det andet objekt:
3. Den aftager i forholdet til 1 divideret med kvadratet på afstanden mellem de to objekter:
Skrevet som en matematisk formel, fastslår den universelle tyngdelov, at:
hvor F er tyngdekraften mellem to objekter, m1 og m2 er masserne på objekt 1 og 2, r er afstanden mellem massecentrummerne af de to objekter, og G er den universelle gravitationskonstant.
Hver gang, du støder på en sådan konstatering, så gør det til en vane at skille den ad, for at være sikker på at den giver mening. Vi vil starte med, at studere det algebraiske udtryk vi netop har præsenteret. For det første er tyngdekraften en tiltrækkende kraft der virker mellem to masser og som virker langs en lige linje mellem de to masser. Uanset hvor på Jordens overflade du står, vil Jordens tyngdekraft trække dig mod centrum af Jorden. For det andet, afhænger tyngdekraften af produktet af de to masser. Hvis du gør m1 dobbelt så stor, så vil tyngdekraftspåvirkningen mellem m1 og m2 blive dobbelt så stor. Igen bør dette forhold give mening. En fordobling af massen på et objekt, fordobler også objektets vægt. Et subtilt – men set i bakspejlet et meget vigtigt – punkt gemmer sig i denne udtalelse. Massen, der bruges i den universelle tyngdelov, er den samme masse, der bruges i Newtons love. Den samme egenskab for et objekt, der giver det inerti, er den samme egenskab for objektet der gør at det interagerer med tyngdekraften (denne ækvivalens mellem effekten af tyngdekraften og effekten af inertien, blev senere grundlaget for Einsteins almene relativitetsteori, hvor massen bogstaveligt krummer rum og tid).
massen på objekterne og afstanden mellem dem.
Den tredje del af Newtons universelle tyngdelov fortæller os, at tyngdekraften er omvendt proportional med kvadratet af afstanden mellem to objekter. En fordobling af afstanden mellem to objekter, reducerer styrken af tyngdekraften til (1/2)2 eller 1/4 af den oprindelige værdi. En tredobling af afstanden mellem to objekter, reducerer styrken af tyngdekraften til (1/3)2 eller 1/9 af den oprindelige værdi (figur 3.18). Tyngdeloven, er kun en af flere love, vi vil støde på, hvori styrken af en given effekt, aftager proportionalt med kvadratet på afstanden (se Matematiske værktøjer 3.1).
virker mellem dem med det omvendte kvadrat af afstanden mellem dem.