3.2 – En empirisk begyndelse: Kepler beskriver planeternes observerede bevægelser

Nu da vi har lovprist tyngdekraftens vidundere og den rolle den spiller i universet, kan du måske forvente, at vi straks begynder at se på hvad tyngdekraften er og hvordan den virker. Men de store tænkere, der bragte os til vores moderne forståelse, havde ikke vores gavn af tilbageblik i bakspejlet. Alt hvad de kunne, var at se planeternes bevægelse i løbet af måneder og år og efterfølgende samle puslespillet over hvad de så. Uden nogen måde at bedømme afstanden til planeterne, er det ikke underligt at det tog mennesket tusinder af år, at begynde at se virkeligheden af de mønstre de så. Så i dette kapitel, vil vi følge disse forskere, som hver af deres opdagelser førte til vores moderne forståelse af tyngdekraften.

I kapitel 1, malede vi et billede af videnskaben som et verdenssyn, hvor naturen er underlagt fysiske love og hvor matematiske beskrivelser af disse fysiske love, bruges til at forklare disse naturfænomener. Men hvordan kommer forskerne frem til at opdage disse fysiske love? Når man står over for fænomener, der er komplekse og gådefulde, som for eksempel planeternes bevægelser på himlen, hvor kan vi så finde fodfæste? Ligesom den kloge sømand lægger for kaj i en storm, ved den kloge videnskabsmand, at når man står over for et komplekst og dårligt forstået fænomen, kan der ikke være andet valg, end at vende sig direkte mod de oplysninger som vores sanser giver. Vi observerer nøje fænomenet vi studerer, registrerer systematisk så mange oplysninger vi kan, så præcist som muligt. Vores observationer begynder at hobe sig op og vi ser efter mønstre i disse observationer og begynder at formulere regler, der synes at beskrive det vi ser.

Forestil dig, at du er en videnskabsmand fra en anden verden, der for første gang sætter sin fod på Jorden. Du bemærker straks, at mange interessante strukturer stikker op af jorden, på denne uudforskede planet. Som du optegner dine observationer opdager du, at nogle af disse strukturer er store, nogle er små, nogle er spredt ud over jorden, nogle stikker op i luften og så videre. Men efter en tid indser du, at alle disse strukturer er dækket af en slags vedhæng og at disse vedhæng er grønne. Så du opstiller en beskrivende regel om disse objekter (kalder dem ”planter”): de fleste har grønne vedhæng. Du beslutter, at de grønne vedhæng må være grundlæggende for arten af planter, så du begynder at studere, hvad der gør disse vedhæng grønne. Efter en tid opdager du, at det grønne udseende, altid kommer fra det samme kemiske stof og da du studerer det kemiske stof opdager du, at det kan absorbere lys og omdanne vand og kuldioxid til mere komplekse organiske molekyler. Du har opdaget klorofyl og processen fotosyntese, den proces der er ansvarlig for at drive størstedelen af livet på Jorden. Men du startede ikke ud for at opdage fotosyntesen. Du startede med at bemærke, at planter har grønne blade.

Den søgen til først af observere og optegne og derefter præcist beskrive mønstre i naturen, kaldes empirisk videnskab. Empirisk videnskab indebærer ofte en stor kreativitet og en lille mængde rene (men kvalificeret) gætterier. Kopernikus’ teori om at Jorden og planeterne bevæger sig i cirkulære baner omkring Solen, er et eksempel på empirisk videnskab. Kopernikus forstod ikke hvorfor planeterne bevæger sig rundt omkring Solen, men han var klar over, at hans heliocentriske (sol-centrerede) verdensbillede, gav en meget enklere beskrivelse af planeternes observerede bevægelser, en modellen med Jorden i centrum gjorde. Kopernikus’ arbejde var revolutionerende, fordi han var i stand til at se ud over de geocentriske fordomme for hans tid, og for at tænke det utænkelige – at måske er Jorden ”blot” en planet blandt mange.

Kopernikus’ arbejde, banede vejen for en anden stor empirist, Johannes Kepler. Videnskaben har ofte nydt godt af usandsynlige og heldige samarbejder og Keplers arbejde, er en sådan historie. Kepler, en matematiker der havde studeret Kopernikus’ ideer, arbejdede i 1600, som assistent for Tycho Brahe (1546-1601) (figur 3.3), en dansk astronom, der var fast tilhænger af et jord-centreret univers. Selvom Tycho Brahe, er beskrevet som en alt andet end behagelig person, var han også en af de største observationsastronomer gennem tiderne. Tycho Brahe sled sig gennem lange nætter med primitivt udstyr og samlede et væld af bemærkelsesværdigt præcise observationer med det blotte øje, af planeternes positioner igennem årtier. Kepler tog, ved hjælp af Tycho Brahes data, det næste store skridt i retning af, at forstå planeternes bevægelser. Ved først at arbejde med Tycho Brahes observationer af Mars, var Kepler i stand til at udlede tre empiriske regler, der elegant og præcist beskriver planeters bevægelse. Disse tre regler, er nu generelt betegnet som Keplers love.

Keplers første lov: Planeter bevæger sig i elliptiske baner, med Solen i det ene brændpunkt

Da Kepler brugte Kopernikus’ model til at beregne, hvor en planet skulle være på himlen på et givent tidspunkt, forventede han at Tycho Brahes data ville bekræfte cirkulære baner, men i stedet fandt han en foruroligende forskellighed, mellem hans forudsigelser og observationerne. Han var ikke den første der lagde mærke til disse uoverensstemmelser. Snarere end at forkaste Kopernikus’ ideer, legede Kepler med Kopernikus’ heliocentriske model, indtil den matchede Tycho Brahes observationer.

Kepler opdagede, at hvis han erstattede Kopernikus’ cirkulære baner med aflange elliptiske baner, passede hans forudsigelser næsten præcist, Tycho Brahes observationer. Du tænker sikkert på en ellipse, som en oval form, men for at give Keplers opdagelse mening, er vi nødt til at være lidt mere præcise om, hvad en ellipse er. Den mest konkrete måde at definere en ellipse på, er at kalde det den form der fremkommer, når du lægger to ender af snor på et papir, strammer snoren helt op med spidsen af en blyant og tegner rundt om disse to endepunkter mens snoren holdes stram (figur 3.4). Hver af endepunkterne for snoren, kaldes fokus af ellipsen. Jo tættere de to fokusser er på hinanden, jo nærmere cirkulær er ellipsen. Faktisk er en cirkel blot en ellipse med de to brændpunkter på samme sted. Som de to fokuspunkter bevæges længere fra hinanden, bliver ellipsen mere og mere aflang. Kepler fandt, at hver planetbane er en ellipse, med Solen placeret i det ene fokuspunkt. Denne opdagelse er nu kendt som Keplers første lov om planeters bevægelse. (Du kan måske spørge dig selv ”Hvis Solen er i det ene fokuspunkt, hvad er der så i det andet fokuspunkt?” Svaret er, intet andet end det tomme rum).

Figur 3.5 illustrerer Keplers første lov og viser, hvordan funktionerne i en ellipse elegant matcher en observeret planets bevægelser. Lad os se nærmere på figur 3.5a for at se nogle af disse funktioner. De stiplede linjer, repræsenterer ellipsens to hovedakser (stor- og lilleaksen). Halvdelen af længden på storaksen, kaldes baneaksen for ellipsen, ofte betegnet med bogstavet A. Baneaksen i et kredsløb er en praktisk måde at beskrive kredsløb på, fordi, ud over at være det halve af den længste dimension på ellipsen, er den også den gennemsnitlige afstand mellem et fokuspunkt og ellipsen selv. Den gennemsnitlige afstand mellem Solen og Jorden for eksempel, er lig med baseaksen for Jordens bane. Det samme gælder for banerne for alle andre planeter.

I tilfælde af en cirkulær bane, er baneaksen lig med radius af cirklen. Nogle ellipser, er på den anden side meget langstrakte. Når formen af en ellipse beskrives, tales der om ellipsens excentricitet. Vi definerer excentriciteten af en ellipse som afstanden mellem de to brændpunkter divideret med længden af storaksen. En cirkel har en excentricitet på 0, fordi de to fokuspunkter er sammenfaldende i centrum af cirklen. Jo mere aflange ellipsen bliver, jo tættere kommer dens excentricitet på 1 (figur 3.5b). De fleste planeter har næsten cirkulære baner med excentriciteter tæt på 0. Jordens banes excentricitet er for eksempel 0,017, hvilket betyder, at afstanden mellem Jorden og Solen, kun afviger fra den gennemsnitlige afstand med 1,7 procent. Du husker måske fra kapitel 2, at de tider hvor Jorden er tættest på eller længst væk fra Solen, næsten intet har at gøre med vores årstider og du får måske en bedre fornemmelse af denne, når man ser på figur 3.6a. Det er svært at se forskellen mellem Jordens kredsløb om Solen og en cirkel centreret om Solen. Derimod, er et af de mange karakteristika, der kendetegner dværgplaneten Pluto fra dens klassiske fætre, dens stærk excentriske bane som ses i figur 3.6b. Med en excentricitet på 0,224, varierer afstanden mellem Solen og Pluto med 24,4 procent fra den gennemsnitlige afstand. Plutos bane er mærkbart aflang og dens centrum er mærkbart forskudt fra Solen.

Keplers anden lov: En planet bevæger sig i banen således, at linjen fra Solen til planeten, overstryger lige store arealer i lige store tidsrum

Den næste empiriske regel som Kepler fandt, har med at gøre, hvor hurtigt planeter bevæger sig på forskellige steder i deres baner. En planet bevæger sig hurtigst når den er tættest på Solen og langsomst når den er længst fra Solen. Jordens gennemsnitlige hastighed i sin bane omkring Solen, er 29,8 kilometer i sekundet (km/s). Når Jorden er tættest på Solen, bevæger den sig med 30,3 km/s og når den er længst fra Solen, bevæger den sig med 29,3 km/s.

Kepler fandt en elegant måde, at beskrive de skiftende hastigheder for en planet i sin bane omkring Solen. Kig på figur 3.7, der viser en planet på seks forskellige punkter i sin bane omkring Solen. Forestil dig en linje, der forbinder Solen med denne planet. Vi kan tænke på denne linje som et område, der bevæger sig med planeten fra et punkt til et andet. Areal A (i rødt) er arealet mellem tidspunkt t₁ og t₂, område B (i blåt) er området mellem tidspunkterne t₃ og t₄ og areal C (i grønt) er området mellem tidspunkterne t₅ og t₆. Når en planet er tættest på Solen (område A i figur 3.7), bevæger den sig hurtigt, men afstanden mellem planeten og Solen er lille. Kepler indså, at ændringer i afstanden mellem Solen og en planet og ændringer i bevægelseshastigheden for planeten, arbejdede sammen om at frembringe et overraskende resultat: arealet af området overstrøget af en planet på en bestemt mængde tid, er altid det samme uanset hvor planeten befinder sig i sin bane. I figur 3.7 betyder dette, at hvis de tre tidsintervaller er ens (det vil sige hvis t₁ → t₂ = t₃ → t₄ = t₅ → t₆), vil arealerne af de tre områder, A, B og C, være ens.

Dette er Keplers anden lov, som også omtales som Keplers lov om lige arealer. Den fastslår, at den imaginære linje, der forbinder en planet og Solen, udstryger områder hvis arealer er ens på samme tidsintervaller, uanset hvor planeten befinder sig i sin bane. Bemærk, at denne lov kun gælder en planet ad gangen. Arealet udstrøget af Jorden i et givent tidsinterval, er altid det samme. Ligeledes er arealet af området udstrøget af Mars i et givent tidsinterval, altid det samme. Men arealet af området udstrøget af Jorden og arealet af området udstrøget af Mars i et givent tidsinterval, er ikke det samme.

Keplers tredje lov: Planeternes baner, afslører en harmoni mellem verdenerne

Keplers første lov, beskriver formen af planeternes baner og Keplers anden lov, beskriver hvordan bevægelseshastigheden for en planet ændres, som den bevæger sig langs dens bane. Men ingen af disse love fortæller os, hvor lang tid det tager en planet at fuldføre et kredsløb om Solen (benævnt som omløbstiden). Disse love, fortæller os heller ikke hvordan denne omløbstid, afhænger af afstanden mellem Solen og planeten. Kepler så sikkert denne mangel på en relation mellem omløbstid og baneaksen, som en stor fejl i hans forståelse af planeternes bevægelser. I sådanne tilfælde, ser man efter mønstre og matematiske relationer.

Planeter der er tættere på Solen, har ikke så lang en afstand at tilbagelægge, for at fuldføre et kredsløb, som planeter der er længere væk fra Solen har. Jupiter for eksempel, har en gennemsnitlig afstand til Solen på 5,2 astronomiske enheder (AU) – Jupiter er 5,2 gange så langt fra Solen som Jorden er. Det betyder, at Jupiter skal tilbagelægge en afstand der er 5,2 gange længere i sit kredsløb omkring Solen, end Jorden skal i sit kredsløb om Solen. Vi kan derfor gætte på, at hvis de to planeter bevæger sig med samme hastighed, ville Jupiter fuldføre et kredsløb på 5,2 år. Men et sådan gæt ville være forkert. Det tager Jupiter næsten 12 år at fuldføre et kredsløb. Det er dermed klart, at Jupiter ikke kun har en længere afstand at tilbagelægge i sin bane end Jorden har, men den bevæger sig også langsommere i sin bane omkring Solen, end Jorden gør. Denne tendens gælder for næsten alle planeterne. Jo længere de er væk fra Solen, desto større er deres kredsløbsbaner og deres bevægelseshastighed falder. Merkur, med en gennemsnitlig afstand på 0,387 AU fra Solen, farer afsted i dens kredsløb, med en gennemsnitshastighed på 47,9 km/s og fuldfører et kredsløb på kun 88 dage. I en afstand på 30,1 AU fra Solen, snegler Neptun sig afsted med en gennemsnitlig hastighed på 5,48 km/s og er dermed 164,8 år om at fuldføre et kredsløb om Solen.

Kepler opdagede en simpel matematisk sammenhæng, mellem varigheden af en planets bane og dens afstand til Solen. Keplers tredje lov fastslår at, kvadratet på en planets omløbstid er proportional med dens middelafstand til Solen (den halve storakse i ellipsebanen) i tredje potens, målt i astronomiske enheder. Skrevet som en ligning, siger loven:

 

hvor P_år betegner omløbstiden udtrykt i jord år og A_AU er omløbsbanens baneakse udtrykt i astronomiske enheder.

Denne ligning, er et tilfælde hvor astronomerne bruger en ikke-standard enhed i forhold til bekvemmelighed. År er en håndterbar enhed til målinger af kredsløbenes omløbstider og astronomiske enheder er praktiske enheder til måling af størrelsen på kredsløbsbanerne. Når vi anvender år og astronomiske enheder som vores enheder, får vi netop vist simple forhold. Men det er vigtigt at indse, at vores valg af enheder på ingen måde ændrer de fysiske forhold som vi studerer. Hvis vi i stedet holdt os til standard matematiske enheder, ville ligningen se således ud:

For selv at dømme, hvor godt Keplers tredje lov virker, skal du kigge på tabel 3.1. Her kan du se de omløbstider og baneaksen for kredsløbsbanerne for de otte klassiske planeter og tre dværg planeter, sammen med værdierne af forholdet P² divideret med A³. Disse data er også afbildet i figur 3.8. Dette forhold, var så smukt, at Kepler henviste til det, som sin harmoniske lov, eller mere poetisk som ”Harmonien mellem verdenerne”.

Næste afsnit →