Dette afsnit markerer overgangen fra de mindste til de største skalaer i astronomi – fra individuelle sorte huller, der optager nul fysisk plads, til kosmologi, der er studiet af alt materiale og energi, der er i hele universet.
En af hovedopdagelserne i kosmologiens historie er, at alle fjerne galakser bevæger sig væk fra vores egen galakse, Mælkevejen, hvilket ledte til den konklusion, at universet udvider sig. Endnu mere dybdegående en udvidelsen selv, var erkendelsen af, at der ikke er noget specielt ved vores perspektiv på denne udvidelse; enhver hypotetisk observatør, et hvilket som helst andet sted i universet, ville lave de samme målinger, hvilket igen betyder, at der ikke er noget unikt centrum eller kant i universet. Rummet strækker sig overalt, så alle galakser bevæger sig væk fra alle andre galakser, forudsat at de ikke er tæt nok på hinanden, til at være tyngdebundet til hinanden.
Universet udvider sig, fordi det tomme rum strækker sig ensartet, alle steder. Det betyder, at hvert et lille stykke af tomt rum, strækker sig lige så meget som et hvert andet lille stykke tomt rum. Mængden af tomt rum mellem os og en fjern galakse, hvilket er en anden måde at sige den afstand til os på, bestemmer direkte hvor hurtigt vi opfatter dens bevægelse bort fra os på. Dette kaldes ”recessionshastighed”. For eksempel, hvis afstanden fra os til en bestemt galakse er dobbelt så stor som afstanden fra os til en anden galakse, er der dobbelt så meget ekspanderende rum i mellem os og den fjernere galakse, så den vil synes har have den dobbelte recessionshastighed. Figur 6.4 illustrerer dette med et simpelt todimensionelt univers, der indeholder tre galakser.
Hvis du er usikker på, hvorfor større afstand betyder større hastighed, kan det måske hjælpe hvis vi indsætter nogle specifikke tal ind i et tankeeksperiment. Forestil dig, at galakse 1 befinder sig på startafstanden d og galakse 2 ved startafstanden 2d. Forestil dig nu, at der et tidsinterval t, forårsager universets udvidelse, at rummet mellem galakserne fordobles. Det betyder, at på den tid, vil galakse 1 bevæge sig fra afstanden d til afstanden 2d, så ændringen i afstanden vil være
2d – d = d. Men i det samme tidsrum, vil galakse 2 bevæge sig fra afstanden 2d til afstanden 4d, så ændringen i galakse 2’s afstand vil være 4d – 2d = 2d. Da afstand er lig med hastighed divideret med tid, og da galakse to bevæger sig den dobbelt afstand på den samme mængde tid, vil recessionshastigheden for galakse 2 (hastighed = 2d/t) være den dobbelte af recessionshastigheden for galakse 1 (hastighed = d/t). Denne analyse virker ikke kun i tilfældet med galakse 2 der er dobbelt så langt væk – du kunne have valgt to vilkårlige galakser ved vilkårlige afstande, og overvejet en hvilken som helst ekspansionsfaktor, og hastighedsforholdet ville altid være det samme som afstandsforholdet.
Ved første øjekast, kunne man få den opfattelse, at forholdet mellem afstand og recessionshastighed, ville indikere at Mælkevejen befandt sig i universets centrum. Hvis afstanden til os trodsalt er den eneste bestemmende faktor for recessionshastigheden, betyder det så ikke også, at vores placering er speciel i den henseende?
Du ville kunne se vildfarelsen i det argument, ved at forestille dig at du befandt dig i galakse 2 på figur 6.4. Den samme analyse kan anvendes på den situation, og resultatet ville være symmetrisk: set fra galakse 2, er afstanden til galakse 1 d, og afstanden til vores galakse 2d, og som rummet ekspanderer, fjerner vores galakse sig dobbelt så hurtigt fra galakse 2, som galakse 1 gør. Så en observatør i galakse 2, har den samme ret til at konkludere, at afstanden fra galakse to til andre galakser, er den eneste bestemmende faktor for recessionshastigheden.
Den samme analyse kan anvendes af en hypotetisk observatør i galakse 1, som ser både vores galakse og galakse to, ved en afstand på d, dog i modsat retning fra hinanden, og som vil måle recessionshastigheden af vores galakse og galakse 2, til at være den samme. Hvis vores figur havde inkluderet andre galakser til venstre for vores galakse og til højre for galakse 2, ville en observatør i galakse 1, måle recessionshastigheden for de galakser, til at være større end recessionshastigheden for vores galakse og galakse 2, fordi deres afstand til galakse 1 ville være større.
I det virkelige univers, befinder galakserne sig ikke på linje, men er spredt ud igennem det tredimensionale rum. Men det samme simple proportionalitetsforhold gælder, for galakser der bevæger sig væk fra os, og i alle retninger.
Den vigtige konklusion er, at udvidelsen af rummet betyder, at der ikke er nogen særlig placering, der er speciel – den samme regel gælder for alle observatører, og den regel er, at fjernere galakser, bevæger sig væk hurtigere. Dette er essensen af Hubbles lov, og du kan se hvordan du kan kvantificere denne lov i det næste underafsnit.
6.4.1 – Hubblediagrammet og Hubbbles lov
En af de mest anvendelige grafer i en hver diskussion af universets udvidelse, er et ”Hubblediagram”, nogle gange kaldet et ”Hubbleplot”. Selvom enhederne kan variere fra astronomibog til astronomibog, er et Hubblediagram typisk, en graf over afstanden til mange galakser tegnet mod deres recessionshastighed. Figur 6.5 viser et eksempel på et Hubblediagram, med afstanden og recessionshastigheden indtegnet, for 100 hypotetiske galakser, hvor hvert punkt repræsenterer en galakse. Denne graf inkluderer også en linje med den bedste pasform til punkterne. Husk dog på, at ”diagram” i denne sammenhæng, betyder en graf, ikke et billede, meget på samme måde som H-R diagrammet beskrevet i afsnit 5.4.
Der er flere vigtige funktioner at lægge mærke til i dette eksempel på et Hubblediagram. For det første, alle galakserne bevæger sig væk fra os, så alle recessionshastigheder er positive og følger konventionen fra afsnit 3.4 i forhold til Dopplerforskydning, hvor positiv hastighed, korresponderer med at bevæge sig væk fra observatøren. Den mere slående funktion er imidlertid, den klare opadgående lineære trend i grafen. Denne trend er en grafisk repræsentation af Hubbles lov, som nævnt tidligere i dette afsnit: fjernere galakser, bevæger sig væk fra os, hurtigere.
Du kan forstå ligningen for den lineære relation mellem recessionshastighed og afstand, ved at genkalde dig ligningen for en lige linje på en graf: Du kan forstå ligningen for den lineære relation mellem recessionshastighed og afstand, ved at genkalde dig ligningen for en lige linje på en graf:
y = mx + b, hvor b er skæringspunktet med y-aksen (punktet hvor linjen krydser y-aksen), og m er hældningen. Da Hubblediagrammet går gennem nulpunktet for x– og y-akserne, er skæringspunktet med -akserne, er skæringspunktet med y-akse nul (b = 0) og ligningen reduceres til y = mx. I Hubblediagrammet, er y-værdierne hastighed v, x-værdierne er afstand d, og hældningen kaldes for Hubbles konstant, eller H0.
| (6.7) |
Denne ligning, er det klassiske matematiske udsagn for Hubbles lov. Det siger, at en galakses recessionshastighed og afstanden til os, er direkte proportional med proportionaliteteskonstanten H0. Dette er konsistent med hvad figur 6.4 viser i hvilken galakse 2 befinder sig dobbelt så langt væk som galakse 1, og derfor udviste en recessionshastighed der var dobbelt så stor.
Du undrer dig måske over, hvorfor punkterne er spredt omkring linjen, når nu ligningen for Hubbles lov er en perfekt lineær relation uden nogen spredning. En årsag er måleusikkerhed – der er usikkerheder i enhver videnskabelig måling. Disse usikkerheder er ofte vist på grafer som ”fejlsøjler”, men det betyder ikke at der blev begået en fejl. Fejlsøjler repræsenterer en tilkendegivelse af den endelige præcision af målingen, list på samme måde som at angive, hvor mange signifikante cifre der er pålidelige i dit resultat. En grundig analyse af måleusikkerhed, er en af kendetegnene ved god videnskabelig praksis.
En anden årsag til spredningen i punkterne, er galaksebevægelse på grund af tyngdepåvirkninger som galakserne udøver på hinanden. Disse påvirkninger kan danne ”lokale” galaksebevægelser, som påvirker recessionshastigheden vi måler, hvilket betyder, at ikke alle punkterne på grafen vil ligge på den samme linje, selv hvis målingerne havde meget høj præcision.
6.4.2 – Den numeriske værdi for H0
Hvordan kan du bestemme værdien af Hubbles konstant? En tilgang er, at få den direkte fra Hubblediagrammet, ved at beregne hældningen af linjen. For at gøre dette, har du brug for et Hubblediagram med numeriske værdier på akserne, som vist i figur 6.6. Husk at hældningen af en linje, er et mål for, hvor stejl den er: positive hældninger går opad fra venstre mod højre, og jo større hældningen er, desto mere stejl er linjen. Matematisk, er hældningen (m), defineret som stigningen (ændringen i y-værdien, kaldet Δy, over et interval), divideret med afstanden (ændringen i x-værdien, kaldet Δx, over det samme interval).
| (6.8) |
For stigningen og afstanden afbildet i figur 6.6, laves beregningen af hældningen således:
Her er nogle tips til beregning af hældningen. For det første: Rækkefølgen af tallene der trækkes fra hinanden betyder ikke noget; Ved at bytte rundt på tallene i ovenstående eksempel, får man:
For det andet: Vær sikker på at beholde enhederne ved tallene. Konstanten H0 har dimensioner der fysisk er meningsfulde (hastighed/afstand), og enhederne skal beholdes for at kunne lave beregninger med denne konstant senere.
For det tredje: Det betyder ikke noget hvilke to punkter du vælger, så længe punkterne ligger på linjen. Da linjen er lige, er hældningen konstant på hele linjen. Punkterne behøver ikke at være galakser fra grafen overhovedet; det kan være to vilkårlige punkter fra grafen, da de fleste af de reelle punkter ligger på selve linjen, men er spredt omkring den.
For det fjerde: Hvis du ikke har fået grafen med en linje i den bedste pasform, skal du selv lave en. Det skal være en perfekt lige linje, der cirka går igennem midtpunktet af klumpen af punkter, og skærer y-aksen i nulpunktet. Med undtagelse af de fjerneste punkter, skal cirka halvdelen af punkterne ligge over linjen og halvdel under linjen. Hvis du tegner det på papir, kan du sandsynligvis nøjes med øjemål, med mindre du specifikt bliver bedt om andet, men vær sikker på du bruger en lineal. Hvis du laver en graf ved at bruge et computerprogram, kan du bruge en linjetilpasningsfunktion; du skal blot være sikker på, at du definerer tilpasningsfunktionen som et førsteordens polynomium (det er en ret linje) uden nogen forskydning, for at sikre dig at den går gennem grafens nulpunkt.
For det femte: Forsøg at vælge punkter der er relativt langt fra hinanden for at mindske effekten af usikkerheder. For eksempel hvis du aflæser y-aksens værdier til nærmeste 10.000 km/s kun, vil denne usikkerhed have en større effekt på værdien af hældningen, når den divideres med en lille værdi for Δx, frem for en stor værdi for Δx.
Og til sidst: Du er velkommen til at vælge dine egne værdipunkter på grafen, det er dog bekvemt at vælge punkter med pæne runde tal (som for eksempel værdierne på 1.000 Mpc og 3.000 Mpc i eksemplet), da det vil gøre fratrækningen af tallene nemmere. Faktisk kan du, hvis din graf går gennem nulpunktet, som det jo altid skal gøre i et Hubblediagram, passende bruge dette (0,0), som et særligt bekvemt valg for et af dine punkter. Ved at bruge nulpunktet for det nederste venstre punkt i beregningen af hældningen tidligere (det vil sige bruge x = 0, y = 0 i stedet for x = 1.000, y = 70.000), ville have forenklet beregningen til denne:
Dette er i overensstemmelse med værdien for H0 tidligere, fordi du har beregnet hældningen for den samme linje, men har anvendt andre punkter.
Beregninger af værdien for H0, fra mange forskellige astronomiske observationer i de seneste årtier, har givet resultater der varierer fra sidst i 60’erne til midt 70’erne i enheden (km/s)/Mpc. Nogle astronomibøger angiver enheden for H0 til (km/s)/Mly (km/s per million lysår), i hvilke tilfælde, værdien falder i intervallet mellem 21-23 (km/s)/Mly. Universet har kun en sand Hubblekonstant ved et hvert tidspunkt, men den usikkerhed der er i vores målinger, resulterer i intervallet for værdierne.
Som nævnt i forrige afsnit, kan variationerne i værdierne for H0 også skyldes variationer i recessionshastighederne for de individuelle galakser, på grund af tyngdeinteraktioner med andre galakser. Man har foretaget korrektioner for kendte tyngdepåvirkningseffekter, og hundrede af målinger er blevet foretaget, for at bestemme værdien af Hubblekonstanten. I de seneste årtier, er disse målinger ”konvergeret” – det vil sige, har samlet sig omkring et lille område. Det område er omkring 67-72 (km/s)/Mpc, og den sande værdi af H0, kan meget vel findes i området omkring midten af dette interval. Hvis du arbejder med en Hubbleopgave, og du ikke får oplyst en værdi for H0 du kan bruge i dine beregninger, kan du være rimelig sikker på dine resultater, hvis du bruger en værdi der ligger inde for dette interval. Nogle af beregningerne i dette afsnit, bruger en afrundet værdi for H0 på 70 (km/s)/Mpc for enkelhedens skyld, men husk på, at andre astronomibøger eller din underviser kan bede dig bruge en lidt anden værdi.
6.4.3 – Beregninger med Hubbles lov
Bevæbnet med en værdi for Hubbles konstant, kan du bruge Hubbles lov (ligning 6.7), til beregning af recessionshastigheden på en fjern galakse, hvis du får oplyst dens afstand, eller du kan beregne dens afstand, hvis du får oplyst dens recessionshastighed. I virkeligheden, måler astronomerne recessionshastigheden ved at anvende Dopplereffekten, hvilket gør Hubbles lov, til et stærkt værktøj i afstandsmåling.
Du skal dog være opmærksom på, at Hubbles lov ikke er anvendelig til nære galakser som befinder sig inden for omkring 3 Mpc fra os, fordi galakser inden for vores ”lokale gruppe”, er tyngdemæssigt bundet til vores egen galakse, Mælkevejen. Disse stærke tyngdebindinger, overkommer universets udvidelse, så de nære galakser bevæger sig ikke væk fra os med den generelle udvidelseshastighed som universet har, selvom rummet mellem os stadig udvider sig.
Når du udfører beregninger ved at anvende Hubbles lov, skal du huske at bibeholde enhederne på H0. Hvis enhederne for den afstand eller recessionshastighed du får oplyst ikke er konsistente med enheden i H0, skal du udføre en enhedskonvertering, som i følgende eksempel.
Eksempel 6.4.1: Hvis en galakse er to milliarder parsec væk, hvad er dens recessionshastighed så på grund af universets udvidelse?
Ifølge Hubbles lov (ligning 6.7), er en galakses recessionshastighed lig med dens afstand gange Hubbles konstant. Da vi ikke får at vide hvilken specifik værdi vi skal bruge for H0, er det sikkert at bruge den generelt acceptererede værdi på 70 (km/s)/Mpc. Brug 2.000 Mpc til d, fordi 2.000 millioner er det samme som 2 milliarder. Når du indsætter H0 og d i ligningen, får du:
Fordi denne galakse er meget langt væk (to milliarder parsec er næsten syn milliarder lysår), bevæger den sig meget hurtigt – næsten halvdelen af lysets hastighed. Denne opgave var en ligefrem ”indsæt og beregn” ved brug af Hubbles lov, da du fik oplyst afstanden i en enhed der var nem at konvertere til megaparsec. Læg mærke til, at beregningen føres igennem med enheder hele vejen, så det bliver klar, at resultatet kommer i enheden km/s.
Du kunne også have løst denne opgave, ved at kigge på et Hubblediagram hvis hældning er den samme som værdien af H0, som for eksempel figur 6.6. Ved at finde værdien for x = 2.000 Mpc på x-aksen, bevæge dig lige op til linjen, og så bevæge dig lige til venstre til du rammer y-aksen, hvor du ville kunne aflæse den korresponderende y-værdi på 140.000 km/s.
Eksempel 6.4.2: Hvis en måling af Dopplerforskydningen viser, at en bestemt galakse bevæger sig væk fra os med en hastighed på 10.000 km/s, hvor langt væk er denne galakse så fra os?
Denne gang bliver du bedt om at finde afstanden, så du er nødt til først at omarrangere ligning 6.7, så du løser den i forhold til afstand:
| (6.9) |
Herefter indsætter du værdierne for v (som du har fået oplyst i opgavebeskrivelsen), og H0 (og antager standardværdien da ingen H0 værdi er angivet i opgavebeskrivelsen), og så får du:
eller 143 x 106 pc. Hvis du ville udtrykke dette resultat i lysår i stedet for parsec, skulle du udføre en enhedskonvertering:
eller næsten en halv milliard lysår.
Du kan også løse denne opgave, ved at aflæse x-værdien fra grafen i figur 6.6 som beskrevet i det foregående eksempel. Eller, hvis du allerede kender et sæt af værdier du ved er relateret af Hubbles lov, som for eksempel v = 140.000 km/s og d = 2.000 Mpc fra det foregående eksempel, så kan du bruge forholdsmetoden til at løse opgaven. Opstil Hubbles lov ligningen to gange, og divider dem med hinanden, og så vil konstanten udlignes:
Nu løser du ligningen for den ønskede mængde – afstanden til galakse 2 – og indsætter derefter værdierne for v og d fra det foregående eksempels galakse 1, og hastigheden du har fået oplyst i opgaveteksten:
hvilket er i overensstemmelse med det tidligere resultat. Forholdsmetoden brugte omtrent lige så mange matematiske trin som den absolutte metode, for at løse denne opgave, men den krævede ikke at du kendte værdien af H0.
3.4.4 – Universets alder
Da alle fjerne galakser, bevæger sig fra hinanden på grund af universets udvidelse, er det logisk at konkludere, at i fortiden var disse galakser meget tættere på hinanden. Endnu tidligere i fortiden, var de endnu tættere. Ved at ekstrapolere denne udvidelse baglæns, ville alle galakserne (eller materialet de består af), på et tidspunkt i fortiden, være samlet på det samme sted. Det betyder, at afstanden mellem alt materiale i universet, var nul, og at universet havde et volumen på nul. Det tidspunkt, hvor universet begyndte at udvide sig, kaldet The Big Bang. Men for hvor lang tid siden skete det?
Hubbles lov tillader dig at beregne, eller i det mindste estimere, universets alder – det vil siden den mængde tid der har passeret siden universet begyndte at udvide sig. Hvis du ved hvor hurtigt en galakse bevæger sig væk fra os, og du også ved hvor langt den har rejst siden du og den var på samme sted, kan du fastslå hvor meget tide der er passeret siden den galakse var på samme sted som dig. For at gøre dette, skal du bruge ligning 1.11:
| (1.11) |
Ved at anvende denne relation til afstand og recessionshastighed for galakser på grund af universets udvidelse, kan du bruge v fra Hubbles lov (v = H0·d) og bruge den som hastigheden i ligning 1.11:
Dette resultat er et estimat af universets alder, hvor man antager at universets udvidelse har været med en konstant rate. Denne alder, kaldes ofte T0 eller ”Hubbletiden” og er relateret til Hubbles konstant ved ligningen:
| (6.10) |
Hvis du er omhyggelig med at holde styr på enhederne, vil indsættelse af H0 give dig en numerisk værdi for universets alder. Bemærk, at denne alder ikke er afhængig af v eller d for nogen individuel galakse, fordi universets alder ikke er specifik i forhold til nogen galakse, men til alle galakser.
Eksempel 6.4.3: Hvad er universets alder, hvis H0 = 70 (km/s)/Mpc?
Ved at indsætte 70 (km/s)/Mpc som Hubbles konstant i ligning 6.10, får du:
For at få udlignet afstandsenheden i tælleren (pc) med afstandsenheden i nævneren (km), skal du foretage en enhedskonvertering mellem parsec og kilometer. Hvis du slår ækvivalenten mellem disse enheder op (1 pc ↔ 3,09 x 1013 km), kan du gøre dette med kun en konverteringsfaktor:
Ved at konvertere dette resultat til år, giver dig nok en bedre fornemmelse af, hvor lang tid det er. Konverteringsfaktoren mellem sekunder og år, kan gøres sammen med konverteringsfaktoren mellem parsec og kilometer i ligningen ovenover, eller kan gøre separat:
eller omkring 14 milliarder år. Dette resultat ligger tæt op af den bredt accepterede alder for universet, der er 13,7 milliarder år, så T0 estimerer universets alder rimeligt godt med dette resultat.
Denne tilgang til bestemmelse af universets alder, er det samme som at få øje på en person 8 meter væk og se at han bevæger sig direkte væk fra dig med 1 meter per sekund, og derefter udlede hvor lang tid siden det var, at han var samme sted som dig. Baseret på dine observationer, kan du konkludere at personen har bevæget sig væk i en periode på 8 sekunder, da afstand er lig med hastighed gange tid, og 8 meter = 1 meter per sekund x 8 sekunder. Men den konklusion indeholder en vigtig antagelse, nemlig at personens hastighed har været den samme over hele perioden på 8 sekunder.
Antagelsen om konstant hastighed, er bygget direkte ind i ligningen afstand = hastighed x tid, hvilket kun er en del af ligningen der relaterer afstand (d) med tid (t). Du han nok set den fulde ligning i fysiktimerne. Den er:
| (6.11) |
i hvilken a repræsenterer accelerationen og v0 er starthastigheden for objektet. Så hver gang du sætter afstand lig med hastighed x tid, så husk, at du ignorerer det første begreb i ligning 6.11, hvilket betyder at du antager nul acceleration, og dermed ændres objektets hastighed ikke.
Dermed er teknikken med at finde universets alder, ved at tage den reciprokke værdi af Hubbles konstant (1/H0), baseret på den antagelse, at udvidelseshastigheden for universet, ikke har ændret sig siden The Big Bang. Men lige siden Georges Lemaître og Edwin Hubble opdagede universets udvidelse sidst i 1920’erne, har astronomerne haft mistanke om, at udvidelsen ikke er konstant. I adskillige årtier, troede mange at accelerationen skulle være negativ, og at udvidelsen af universet skulle bremses op på grund af tyngdekraftens træk fra alle galakserne i hinanden. Men sidst i 1990’erne, gjorde astronomer en fantastisk opdagelse: udvidelsen af universet bremses ikke, den accelererer. Kilden til denne positive acceleration er ikke endeligt forstået (i mangel af et bedre navn, kaldes den ”mørk energi”), men data om Dopplerforskydningen af fjerne supernovaer indikerer, at udvidelseshastigheden var laverer for få milliarder år siden, end den er i dag.
For at forstå effekten af den skiftende udvidelseshastighed på universets alder og skæbne, skal du først forstå en type graf der er noget anderledes end Hubblediagrammet. Denne type graf, kaldes en ”position-mod-tid” graf, og den er emnet for det næste afsnit.
6.4.5 – Position-mod-tid grafer
En nem måde at forstå position-mod-tidsgrafer på, er at forestille sig en graf der viser en vens position, mens han bevæger sig væk fra dig, eller i mod dig, hen over tid. Sådan en graf er vist i figur 6.7, men stigende tid mod højre på den vandrette akse, og din vens position stigende op ad den lodrette akse. I denne type af graf, er du ved position nul, så din vens positionsværdi, er afstanden fra dig til din ven.
I det scenarie der er vist i denne figur, starter din ven på din position (højde nul langs den vandrette akse) ved starttidspunktet tstart = 0, og starter med at bevæge sig væk fra dig med en konstant hastighed. Da din vens hastighed er konstant, øjes vennens position lineært (det vil sige, langs en ret linje på grafen) henover tid. Det er fordi, at for konstant hastighed, er afstand lig med hastighed x tid, og med afstand (d) på y-aksen og tid (t) på x-aksen, er d = v·t ligningen for en ret linje. Som du måske husker fra afsnit 6.4.1, er ligningen for en ret linje y = mx + b, hvor m er hældningen og b er skæringspunktet med er skæringspunktet med y-aksen. Skæringspunktet med y-aksen er nul i dette tilfælde, da din ven startede på samme position som dig ved tiden t = 0, så ligningen kan skrives som t = mx. Hvis du sammenligner d = vt med y = mx, kan du se et andet vigtigt forhold: din vens hastighed (v), er lig med linjens hældning (m) på position-mod-tidsgrafen. Det burde give mening for dig, da en linjes hældning er defineret som stigningen (Dy) over et given interval (Dx), og i dette tilfælde er stigningen lig med ændringen i position (afstand), mens intervallet er den tid det tog for positionsændringen. Dermed er det på en position-mod-tidsgraf givet, at:
| (6.12) |
hvor en positiv hældning betyder stigende afstand.
I scenariet vist i figur 6.7, vender din vend rundt efter noget tid, og begynder at bevæge sig tilbage mod din position, med den samme konstante hastighed, som han bevægede sig væk med. Denne del af vennens rejse, vises på af vennens position på grafen, hvor positionsværdien bliver mindre over tid, da en nærmere position, betyder mindre afstand mellem dig og din ven. For tilbageturen, er hældningen på din vens linje igen konstant, da han bevæger sig med en konstant hastighed, men nu er hældningen på han linje være negativ, da ændringen i hans position (Δy) er negativ, når han bevæger sig imod dig. Og da han bevæger sig tilbage med den samme hastighed og i det samme tidsrum som da han bevægede sig væk, ender din ven op ved din position ved slutningen af turen.
Der er en position på grafen i figur 6.7, i hvilken hældningen af linjen ikke er konstant. Det er positionen nær tiden hvor han vender (tvender), hvor han skifter retning fra at bevæge sig væk fra dig, til at bevæge sig mod dig. Som han nærmer sig vendepunktet, sænker han farten, hvilket gør hældningen på hans graf mindre positiv. Et kort øjeblik stopper han, og hans hældning er kortvarigt lig med nul, og som han begynder at bevæge sig mod dig, bliver hans hældning negativ – først lidt, og når derefter en konstant værdi, som han når op på hans fulde bevægelseshastighed.
Eksempel 6.4.4: Tegn en graf der viser position-mod-tidsbevægelsen hvis din ven starter med at bevæge sig væk fra din position med en langsom hastighed, så sætter han hastigheden op og bevæger sig væk hurtigere; efter at have bevæget sig væk med denne højere hastighed i kort tid, sænker han igen hastigheden, stopper op, og forbliver ved denne position resten af grafen
Dette eksempel, viser effekten af acceleration på position-mod-tid grafer. Detaljerne omkring denne tur, er blevet angivet på grafen i figur 6.8, og du skal være sikker på, at du forstår hver der sker på hver position på grafen. Men du skal også tage et skridt tilbage, og betragte situationen som helhed. I helhedsbilledet, betyder lige linjer konstant hastighed med en positiv hældning som indikerer bevægelse væk fra dig, negativ hældning mod dig, og en hældning på nul (flad) indikerer ingen bevægelse. Kurvede linjer har en skiftende hældning, og viser dermed en skiftende hastighed, hvilket indikerer acceleration: hvis hastigheden sættes op, bliver kurven mere stejl (mere positiv eller mere negativ), eller hvis hastigheden sættes ned (mindre positiv eller mindre negativ).
Brugen af position-mod-tidsgrafer i kosmologi, kigger vi på i næste afsnit.