6.3 – Sorte huller – astronomi.androide.dk

I dette afsnit, vil vi anvende koncepterne fra de to foregående afsnit – massefylde og undvigelseshastighed – på nogle af de mere eksotiske og bizarre objekter i universet: sorte huller. Per definition, eksisterer sorte huller på enhver lokation at hvilken, massefylden af stof er så stor, at undvigelseshastigheden fra omgivelserne af den lokation, er lig med eller overstiger lysets hastighed. Teoretisk, kan enhver mængde masse komprimeres til et massefylde, hvor det bliver til et sort hul, men i en introduktion til astronomi, er det mere sandsynligt at du vil støde på sorte huller med adskillige solmasser, der dannes når kernerne i massive stjerner kollapser, eller de med millioner eller milliarder solmasser, som befinder sig i centrene af galakser.

6.3.1 – Massefylden for et sort hul

En massiv stjernes død, som har en masse på omkring 8 M, er en ekstremt voldsom proces i hvilken, stjernens ydre lag blæses bort i en supernovaeksplosion, og kun efterlader dens ekstremt massive kerne. Hvis massen af den tilbageblevne kerne er større end omkring 3 M, er der ingen kraft i universet der kan forhindre, tyngdekraften i at forårsage, at materialet i kernen kollapser til en singularitet. Som den tilbageblevne kerne skrumper, forbliver dens masse den samme, men dens volumen nærmer sig nul. Og da massefylde er lig med masse/volumen, forbliver tælleren i brøken den samme, men nævneren nærmer sig nul. Dermed nærmer massefylden sig det uendelige.

6.3.2 – Schwarzschild radius

De fleste mennesker har hørt om ”begivenhedshorisonten” for et sort hul. Begivenhedshorisonten er det punkt i rummet, hvorfra intet, kan undslippe. Det er derfor Shep Doeleman fra MIT, kalder det for ”universets udgangsdør”. Intet der nærmer sig et sort hul tættere end denne afstand, kan aldrig undslippe fra det sorte huls tyngdetiltrækning. End ikke lys kan undslippe, hvilket er grunden til det kaldes for ”sort”. I dette afsnit, vil du lære hvordan du beregner størrelsen af begivenhedshorisonten, eller ”Schwarzschild radiussen” for et sort hul.

Efterhånden som du arbejder dig igennem dette afsnit, så husk på, at begivenhedshorisonten er en matematisk defineret afstand fra det sorte huls centrum. Den beskriver en imaginær kugleformet overflade, der omkranser den centrale singularitet. Det er ikke en rigtig fysisk overflade. Selve begivenhedshorisonten kan i sig selv ikke ses, og hvis du faldt ind i et sort hul, ville du ikke selv vide om du havde passeret begivenhedshorisonten. Men når du først var inde for den, ville alt håb om at undslippe være udslukt.

Det er vigtigt at indse, at når astronomer refererer til ”størrelsen” på et sort hul, refererer de ikke til den ikkeeksisterende nul volumen som massen fysisk fylder, med normalt til størrelsen på Schwarzschild radiussen (R_s). Den radius er forskellig fra nul, og kan bestemmes ved at finde afstanden ved hvilken v_esc er lig med lysets hastighed. Som du kan se i næste afsnit, resulterer dette i følgende ligning:

$R_{s}=\frac{2G\cdot m}{c^{2}}$

(6.6)

Selvom det ikke er en fysisk overflade, er størrelsen på begivenhedshorisonten matematisk bestemt af ovenstående ligning, hvor R_s er forkortelsen for Schwarzschild radiussen, G er den universelle gravitationskonstant, m er massen som singulariteten består af, og c er konstanten lysets hastighed.

Størrelsen på begivenhedshorisonten, afhænger af nøjagtig en fysisk egenskab for det sorte hul. Kan du gætte hvilken? Hvis ikke, så kig lidt ekstra på parametrene på den højre side af ligning 6.6. Bemærk at de alle sammen er konstanter med en undtagelse: variablen (m), der repræsenterer massen af det sorte hul. Massen er den eneste fysiske egenskab for et sort hul, der bestemmer dets begivenhedshorisont. I den sammenhæng, er sorte huller faktisk simplere at analysere, en andre astronomiske objekter.

Eksempel 6.3.1: Den laveste masse som stellare sorte huller kan have, er omkring 3 solmasser. Hvor stor er deres begivenhedshorisont?

Du får oplyst massen (m = 3 M), og bliver bedt om at beregne Schwarzschild radiussen (R_s), hvilket kræver, at du indsætter værdierne ind i ligning 6.6:

$R_{s}=\frac{2G\cdot m}{c^{2}}=\frac{2G\cdot (3\; M_{\bigodot })}{c^{2}}=\frac{2\cdot (6,67\cdot 10^{-11}\; N\cdot {\color{Red} m^{2}}/kg^{{\color{Red} 2}})\cdot (3\cdot 10^{30}\; {\color{Red} kg})}{(3\cdot 10^{8}\; {\color{Red} m}/s)^{2}}$

$=8,8\cdot 10^{3}\frac{\frac{1}{kg}}{\frac{1}{s^{2}}}$

Og da enheden newton (N), er det samme som kg·m/s² som beskrevet i afsnit 1.1.6:

$R_{s}=8,8\cdot 10^{3}\frac{{\color{Red} kg}\cdot m}{{\color{Red} s^{2}}}\cdot \frac{\frac{1}{{\color{Red} kg}}}{\frac{1}{{\color{Red} s^{2}}}}=8.800\; m=8,8\; km$

Dermed er begivenhedshorisonten for de mindste stellare sorte huller, lige under 9 km fra singularitetens centrum. Sammenlignet med andre astronomiske objekter, er sorte hullers begivenhedshorisonter ret små – omkring samme størrelse som en lille by. Inden for denne afstand, kan intet undslippe det sorte hul. Men uden for begivenhedshorisonten, kan objekter kredser omkring det sorte hul, som de ville gøre omkring et hvilket som helst andet objekt, med samme masse. Så, hvis Solen pludselig blev erstattet af et sort hul med 1 solmasse, ville Jorden og de andre planeter fortsætte med at kredse omkring det som de gjorde omkring Solen, fordi de alle ville være i sikker afstand fra begivenhedshorisonten.

Hvor meget ændrer begivenhedshorisontens radius sig, som det sorte huls masse stiger? For at besvare det spørgsmål, tage igen et kig på ligning 6.6. Bemærk, at R_s er direkte proportional med m, så hvis det sorte huls masse stiger med en bestemt faktor, vokser begivenhedsradiussen med den samme faktor. Dette giver en interessant implikation for, hvordan et sort hul kan vokse. Alt stof of energi der passerer begivenhedshorisonten, giver mere masse til det sorte hul, hvilket gør begivenhedshorisonten større. Og hvis to sorte huller med samme masse fusionerer, vil resultatet blive et sort hul med dobbelt så stor masse, og en begivenhedshorisont for det sorte hul, vil være dobbelt så stor.

Eksempel 6.3.2: betragt to sorte huller med forskellig masse, et på 3 M_B og et på 9 M_B. Hvordan er deres begivenhedshorisont sammenlignet med hinanden?

Da R_s og m er direkte proportionale, er sammenligningsopgaver som denne lige til. Hvis det ene sorte huls masse er større eller mindre end det andet sorte huls masse med en faktor, er Schwarzschild radiussen større eller mindre med samme faktor. Hvis man anvender dette ræsonnement til opgaven med et 3 M_B og et 9 M_B sort hul, ved du, at det mindre sorte hul har en masse der er en tredjedel af det større sorte huls masse. Derfor, siden deres radiusser deller den samme relation, kan du konkludere at de lille sorte huls R_s, må være en tredjedel af det store sorte huls. Hvis man opsætter de matematiske udtryk og starter med det ønskede forhold mellem radiusserne, anvender ligning 6.6 og indsætter den information som opgaven giver, får man:

$\frac{R_{s,\; lille}}{R_{s,\; stort}}=\frac{\frac{2G\cdot m_{lille}}{s^{2}}}{\frac{2G\cdot m_{stort}}{c^{2}}}=\frac{\frac{2G\cdot 3\; M_{\bigodot }}{c^{2}}}{\frac{2G\cdot 9\; M_{\bigodot }}{c^{2}}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

eller

$R_{s,\; lille}=\frac{1}{3}R_{s,\; stort}$

Dette resultat korresponderer med den forventede konklusion, at det 3 M_B sorte hul, har en Schwarzschild radius på en tredjedel af det 9 M sorte hul.

Selvom stellare sorte huller ikke dannes naturligt, med mindre den tilbageblevne kerne har en masse på 3 M eller mere, er det ofte lærerigt at kigge på mindre masser, for at få en bedre indsigt i den matematiske relation mellem R_s og m.

Eksempel 6.3.3: Hvor meget skulle Jorden (6 x 10²⁴ kg) komprimeres, før dens radius ville blive den samme som Schwarzschild radiussen for samme masse?

Ved at indsætte Jordens masse ind i ligning 6.6, får man en Schwarzschild radius på:

$R_{s}=\frac{2G\cdot m}{c^{2}}=\frac{2\cdot (6,67\cdot 10^{-11}\; N\cdot {\color{Red} m^{2}}/kg^{{\color{Red} 2}})\cdot (6\cdot 10^{24}\; {\color{Red} kg})}{(3\cdot 10^{8}\; {\color{Red} m}/s)^{2}}=8,9\cdot 10^{-3}\; m$

hvilket betyder, at komprimering af Jorden til en lillebitte kugle med en radius på 8,6 mm, ville forårsage den at kollapse under dens egen tyngdekraft og danne et sort hul. Men på trods af dette skete, ville Månen som befinder sig langt uden for begivenhedshorisonten, fortsætte sit kredsløb som hidtil.

6.3.3 – Undvigelseshastighed nær sorte huller

Du tænker nok over, hvordan undvigelseshastighed kan anvendes på sorte huller, da det ofte proklameres, at ”intet kan undslippe fra et sort hul, selv ikke lys”. Dette er korrekt, hvis det bliver korrekt kvalificeres: ”intet kan undslippe inden for begivenhedshorisonten for et sort hul”. Som nævnt i det tidligere afsnit, er der intet specielt omkring et sort huls tyngdepåvirkning; dets tyngdekraft og v_esc der behøves for at undslippe det, beregnes på nøjagtig samme måde, som for enhver anden masse. Det betyder, at du kan anvende ligning 2.1 til at finde tyngdepåvirkningen mellem et sort hul og et andet objekt, og at du kan anvende ligning 6.5 til at finde v_esc ved en given afstand fra det sorte huls centrum. Det faktum, at massen i et sort hul er komprimeret til en singularitet, har ingen indflydelse på disse beregninger, som både kan anvendes inden og uden for begivenhedshorisonten. Så hvad er så forskellen mellem et sort hul og ethvert andet objekt med samme masse? Kun dette: fordi et sort hul har en fysisk størrelse på nul, kan du komme vilkårligt tæt på hele dets masse.

For at forstå hvorfor dette er meget forskelligt i forhold til andre objekter, så prøv at tænke på hvor tæt du kan komme på hele massen for et objekt som Solen. Selv hvis du i dit rumskib fløj inden for 1 meter af et punkt i Solens fotosfære (Solens effektive ”overflade”), ville du stadig være millioner af kilometer væk, fra materialet på den anden side af Solen, fordi Solens diameter er omkring 1,4 millioner kilometer. Men hvis du kom inden for 1 meter af singulariteten for et sort hul, ville du være inden for 1 meter af hele massen for det sorte hul. Så det er ikke den samlede masse af et sort hul der gør det farligt, det er koncentrationen af den masse i et enkelt punkt, da det tillader dig at komme tæt på hele massen, samtidigt.

Får at undslippe tyngdekraften fra et sort hul, eller et hvilken som helst andet objekt med massen m, kræves det blot, at du opnår en fart der er lig med eller større end v_esc, som vi beskrev i afsnit 6.2:

$v_{esc}=\sqrt{\frac{2G\cdot m}{R}}$

(6.5)

hvor R er afstanden fra den masses centrum, som du forsøger at undslippe, og m er mængden af den masse.

Forestil dig nu, hvad der ville ske med v_esc som du kommer tættere og tættere på massen af den centrale singularitet i et sort hul. For at forstå hvad der sker, så tænkt på grænsetilfældet af ligning 6.5, hvo R nærmer sig nul. I det tilfælde, nærmer v_esc sig ”(2Gm)/R, hvilket betyder, at undvigelseshastigheden nærmer sig uendeligt. Og da intet – end ikke lyset – kan bevæge sig med en uendelig høj hastighed, kan selv ikke lys undslippe.

Så hvad er signifikansen så ved begivenhedshorisonten? Undvigelseshastigheden støt, som du kommer tættere og tættere på et sort hul, både inden og uden for begivenhedshorisonten. For at finde ud af hvad der sker på den præcise afstand af begivenhedshorisonten fra singulariteten, kan du blot bruge ligningen for Schwarzschild radiussen (R_s) fra ligning 6.6, som afstanden (R) i ligning 6.5:

$v_{esc,\; beg.hori}=\sqrt{\frac{2G\cdot m}{R_{s}}}=\sqrt{\frac{\frac{{\color{Red} 2G\cdot m}}{{\color{Red} 2G\cdot m}}}{c^{2}}}=\sqrt{c^{2}}=c$

Det betyder, at ved begivenhedshorisonten, er v_esc præcis lysets hastighed. Faktisk er dette måden hvorpå, Schwarzschild radiussen er defineret på: afstanden ved hvilken, undvigelseshastigheden er lig med lysets hastighed. Uden for begivenhedshorisonten, er R (afstanden) større, så v_esc er mindre end c, og det er muligt at undslippe. Inden for begivenhedshorisonten, er v_esc større end c, hvilket er årsagen til at intet, selv ikke lys, kan undslippe fra denne region.

Figur 6.3 viser, hvordan undvigelseshastigheden varierer med afstanden til et sort hul. I denne graf, repræsenterer den lodrette akse undvigelseshastigheden (v_esc), og den vandrette akse repræsenterer afstanden (R) fra singulariteten. Ved meget små afstande (meget tæt på singulariteten, som R → 0), falder undvigelseshastigheden mod nul (v_esc → 0). Derfor nærmer kurven sig asymptotisk begge akser, men når aldrig nogen af dem, Ved Schwarzschild radiussen (R = R_s), hvilket er en relativt lille radius, er undvigelseshastigheden lig med lysets hastighed (v_esc = c) per definition.