6.2 – Undvigelseshastighed

Du er måske allerede bekendt med en intuitiv fornemmelse for undvigelseshastighed (normalt forkortet som v_esc). Modsat mange andre begreber, er undvigelseshastighed selvbeskrivende: det er den hastighed der kræves, for at et objekt kan ”undslippe” fra et andet objekt, uanset tyngdekraftens træk fra det objekt. Det betyder, at så snart et objekt opnår undvigelseshastigheden, vil det ikke falde tilbage på det andet objekt, selv ikke med yderligere fremdrift. Du skal dog ikke får den forkerte opfattelse, at tyngdekraften pludselig ”slukker” ved en bestemt afstand fra det, så du kun behøver at opnå den afstand for at undslippe. Tyngdekraften ”slukker” aldrig helt, den bliver bare svagere med større afstand, som du kan se af R²-begrebet i nævneren på tyngdeligningen: F_g = G((m₁-m₂)/R²). Så med mindre du er uendeligt langt væk fra et objekt, er tyngdekraftens påvirkning fra det objekt, aldrig nul, hvilket betyder, at du aldrig kan ”undslippe” fra dets tyngdepåvirkning. Men hvis du bevæger dig hurtigt nok – specifikt med v_esc eller hurtigere – vil tyngdepåvirkningen ikke være stærk nok til at trække dig tilbage mod objektet.

6.2.1 – Undvigelseshastighed – konceptuel forklaring

Det er faktisk muligt at bevæge sig væk fra en planet, måne, eller stjerne, eller andre objekter, uden at opnå undvigelseshastighed – fugle, balloner, og flyvemaskiner, forlader alle Jordens overflade, uden overhovedet at opnå undvigelseshastighed. Det er fordi hver af disse objekter bruger en form for frem- eller opdrift til at modvirke den nedadtrækkende kraft fra Jordens tyngdekraft. Men hvis disse fremdrifts- eller opdriftskræfter fjernes, vil Jordens tyngdekraft forårsage, at disse objekter falder tilbage til Jorden. Omvendt, objekter der har opnået undvigelseshastighed, behøver ikke yderligere kraft for at fortsætte med at bevæge sig væk.

For at forstå hvordan det fungerer, forestil dig flydningen af en kanonkugle, som affyres fra overfladen af Jorden, med forskellige hastigheder, som det er illustrereret i figur 6.2. I denne figur, er den eneste kraft der virker på projektilet efter det har forladt kanonen, er Jordens tyngdekraft, så effekten af luftmodstand ignoreres.

Som du kan se i figur 6.2(a), bliver projektiler affyret med mindre end den cirkulære hastighed (kaldet v_circ), trukket ned til jorden efter en vis afstand af Jordens tyngdekraft. Som den almindelige erfaring antyder, så bevæger det sig længere før det rammer jorden, desto hurtigere projektilet affyres. Men hvis kanonkuglens hastighed er lig med v_circ, skaber Jordens tyngdekraft en acceleration som lige akkurat afbøjer projektilets bane nok til, at det flyver i en perfekt cirkel omkring Jordens centrum, som vist i figur 6.2(b). Husk, at acceleration kan betyde øge hastigheden, mindske hastigheden, eller – som i dette tilfælde – dreje. Dette er måden hvorpå satellitter forbliver i deres kredsløb omkring Jorden uden de behøver konstant fremdrift.

Hvis du spekulerer på, om det var muligt at få et objekt til at kredse omkring Jorden i en højde på kun et par meter, så er svaret ”Ja”, hvis Jorden var perfekt kugleformet (ikke havde bjerge eller andre forhindringer), og hvis Jorden ikke havde nogen atmosfære til at bremse projektilet.

Forestil dig nu, at projektilet blev affyret meget hurtigere, med en hastighed der var lig med undvigelseshastigheden v_esc. I det tilfælde, ville Jordens tyngdekraft stadig forårsage at projektilets bane blev afbøjet, men den kurve ville være en parabel som du kan se i figur 6.2(c). Modsat en cirkel eller en ellipse, er en parabel en åben kurve, hvilket betyder den ikke lukker sammen om sig selv – så et projektil på en parabolsk bane, returnerer aldrig til dets startpunkt. Dette er et eksempel på et ubundet kredsløb.

Du undrer dig måske over, hvad der sker med et projektil som affyres med en hastighed på lige under eller lige over v_esc. Svaret er, at et objekt med en hastighed mellem v_circ og v_esc, vil følge et aflangt, men stadig bundet kredsløb, og banen for et hvert objekt med en hastighed større end v_esc, vil være en ubundet hyperbel.

Du tænker måske også på, om retningen af projektilet har nogen betydning for hvad undvigelseshastigheden er. Svaret er ”Nej”, så længe den parabolske eller hyperbelske bane for objektet ikke krydser overfladen på det objekt, som det undslipper fra. Så, uanset om du peger kanonen lodret, vandret, eller derimellem (ikke ned mod jorden selvfølgelig), vil du aldrig se kanonkuglen igen, hvis du affyrede den med en hastighed på v_esc eller højere.

Det kan måske hjælpe på din forståelse af undvigelseshastighed, hvis du tænker på et eksempel med et objekt opsendt lodret fra Jordens overflade. Forestil dig, at du kaster et æble direkte op i luften. Din arm giver æblet en indledende hastighed, men fra det tidspunkt hvor æblet forlader din hånd, er den eneste kraft der virker på det, tyngdekraften (hvor vi igen ser bort fra luftmodstanden). Under indflydelse af æblets egen nedadtrækkende kraft, vil æblets opadgående bevægelse blive langsommere – husk fra afsnit 2.2, at enhver ubalanceret kraft, skaber en acceleration i kraftens retning; når acceleration og hastighed er modsatrettet, bremses objektet. Så længe starthastigheden du gav æblet, er mindre end v_esc, vil æblet til sidst stoppe med at bevæge sig op, og falde ned igen. Hvis du gav æblet en større starthastighed ved at kaste det hårdere, ville det bevæge sig længere op inden det faldt ned, men det ville stadig falde tilbage til jorden.

Forestil dig nu, at du gav æblet en starthastighed der var lig med eller større end v_esc. I det tilfælde, ville æblet stadig bremse op under tyngdekraftens indflydelse, men det ville aldrig blive bremset nok til at stoppe, bevæge sig tilbage, og falde mod jorden. Jordens tyngdekraft ville stadig påvirke æblet for evigt, og prøve at trække det tilbage til Jorden, og æblet ville fortsætte med at blive bremset op på grund af Jordens tyngdekraft. Men som du ved fra Newtons tyngdelov i afsnit 2.1, bliver Jordens tyngdekraft svagere, som æblet bevæger sig væk, og med svagere kræfter, kommer mindre acceleration, så opbremsningen af æblet, ville blive mindre og mindre. Som tiden går, og æblets afstand til Jorden nærmer sig det uendelige, ville æblets hastighed blive ved med at falde, men æblet ville aldrig helt stoppe, og slet ikke vende om og komme tilbage. Hvis æblets hastighed var nøjagtig v_esc, ville æblet kun lige undslippe, hvilket ville betyde at det aldrig ville vende tilbage til Jorden, men dets hastighed ville asymptotisk nærme sig nul, efterhånden som tiden nærmere dig det uendelige. Hvis starthastigheden var større end v_esc, ville æblets hastighed aldrig svinde til nul, og æblet ville undslippe med hastighed i overskud.

6.2.2 – Beregning af undvidelseshastighed

For at beregne værdien af v_esc ved en given afstand fra centrum af en given masse, brug ligningen:

(6.5)

i hvilken G er den universelle gravitationskonstant, m er massen af objektet fra hvilket det andet objekt undslipper, og R er afstanden mellem de to objekters centrummer. Denne relation, kommer fra en ækvivalens mellem ændringen i kinetisk energi (bevægelsesenergi), og ændringen i den potentielle tyngdeenergi (beliggenhedsenergi), for et objekt der bevæger sig i et tyngdefelt.

Placeringen af m og R på højre side af ligning 6.5, her en fysisk signifikans. Da m er i tælleren, bliver v_esc større, hvis m bliver større. Det er fordi objekter med større masse (m), udøver en større tyngdekraft, så det er sværere har undslippe fra dem. Da afstanden R er i nævneren, er det et omvendt forhold som betyder, at v_esc bliver mindre, som R bliver større. Det er fordi, som du kommer længere væk fra et objekt, bliver tyngdepåvirkningen fra det mindre, så det er nemmere at undslippe fra det.

Eksempel 6.2.1: Beregn undvigelseshastigheden fra Jordens overflade

For at kunne anvende ligning 6.5, har du brug for at kende Jordens masse (m), og afstanden (R) fra massens centrum til det punkt som du beregner undvigelseshastigheden for. Da du i denne opgave prøver at finde v_esc for Jordens overflade, er afstanden fra et hypotetisk projektil til Jordens centrum, den samme som Jordens radius. Du kan slå Jordens masse og radius (og også værdien for G) op, i enhver omfattende astronomibog, eller på internettet, hvor du gerne skulle finde at G  = 6,67 x 10^-11 N(m²/kg²) (eller m³/(kg·s²)), m_Jorden = 6 x 10²⁴ kg, og R_Jorden = 6,4 x 10⁶ m. Når du indsætter disse værdier i ligning 6.5, får du:

Bemærk, at i denne beregning, var massen af det undvigende objekt ikke kendt, og ikke behøvet. Det betyder, at undvigelseshastigheden fra Jordens overflade, er den samme for alle objekter, uanset deres masse, lige meget om det er et luftmolekyle eller et rumskib. Hvis du synes det er overraskende, at undvigelseshastigheden ikke er afhængig af det undvigende objekts masse så husk, at selvom et tungere projektil virkelig vil føle en stærkere påvirkning fra tyngdekraften end et lettere projektil vil føle, så modstår et tungere objekt også bedre acceleration end et lettere objekt, fordi et tungere objekt har større inerti. Så i stil med at alle objekter uanset masse, falder mod jorden med den samme acceleration i vakuum, har alle objekter uanset masse, den samme undvigelseshastighed fra en given afstand fra Jorden, eller et hvilket som helst andet objekt med tyngdekraft.

Eksempel 6.2.2: Hvis du kunne mase al Jordens masse til en mindre størrelse – en kugle med halvdelen af Jordens nuværende radius – hvad ville der ske med undvigelseshastigheden fra Jordens nye overflade?

Så, selvom to forskellige objekter har den samme masse, vil undvigelseshastigheden fra deres overflader, være forskellig hvis deres radiusser er forskellige. Særligt, jo mere massen er komprimeret (den højere massefylde og dermed mindre radius), desto større er undvigelseshastigheden fra objektet. Derfor, for et objekt med en given masse, vil v_esc fra dets overflade variere omvendt med objektets massefylde. Denne relation vil være vigtig, i definitionen for sorte huller i næste afsnit.