6.1 – Massefylde – astronomi.androide.dk

Mange elever genkender ordet ”massefylde” (undertiden også betegnet som ”densitet”, der især anvendes om flydende stoffers massefylde), men er usikre på dets betydning. En almindelig misforståelse er, at massefylde er det samme som vægt eller masse. Som du vil se i dette afsnit, er masse og massefylde relateret, men de er ikke det samme. Det er fordi, massefylde er relateret til en anden fysisk egenskab du allerede er stødt på i denne bog: volumen, der er den mænge plads, som et objekt optager. Udover at give definitionen for massefylde, vil dette afsnit også vise, hvordan man beregner massefylden for simple geometriske former, og kigge på de grænsetilfælde, hvor massefylden nærmer sig nul eller uendeligt.

6.1.1 – Definition af massefylde

Forestil dig tre små kasse, hver 1 cm på hver side. Forestil dig at disse kasser, alle sammen er malet grå, så de ligner hinanden, men den ene er lavet af flamingo, en af træ, og en af klippe.

Forestil dig så, at du holder hver af disse kasser i din hånd, eller vejer dem på en vægt. Hvilken en af dem, ville du forvente vejede mest? Du har sikkert en intuitiv fornemmelse for, at kassen af klippe ville veje mest, og kassen af flamingo ville veje mindst. Og da vægt er et mål for tyngdekraftens indvirkning på et objekt (se afsnit 2.1), og den kraft er afhængig af objektets masse, må disse tre objekter have en forskellig masse. I dette tilfælde, ville den mindste til den største masse kunne skrives som m_flamingo < m_træ < m_klippe. Husk, at SI enheden for masse er kilogram (kg); andre masseenheder der anvendes i astronomi er gram (g), og solmasser (M $\bigodot$ ).

Som nævnt før, er volumen af et objekt den mængde plads, som objektet fylder. For en simpel geometrisk figur som for eksempel et rektangel, eller ”parallelepipedum” af hvilken en ligesidet kasse er et specialtilfælde af, kan volumenet (V) beregnes, som længde x bredde x højde. Da alle tre kasse i figur 6.1 har samme dimensioner, har alle tre kasser samme volumen: V_flamingo = v_træ = V_klippe. I det tredimensionelle rum, er dimensionerne af volumen, længde i tredje potens, med SI enheden kubikmenter (m³); andre volumenenheder du kan støde på, er kubikcentimeter (cm³) og kubikparsec (pc³).

Figur 6.1 – Tre kasser af forskelligt materiale, med identisk udseende og dimensioner.

Så de tre kasser har forskellige masser, men identiske volumener. Hvad har det at gøre med massefylde? Massefylde er et mål for, hvor tæt sammen et materiale i et objekt er pakket. Derfor relaterer massefylde sig til, hvor tungt et objekt er, relativt til dets størrelse. Hvis et objekt er ”let” (lille masse) og luftigt (stort volumen), har det et lavt massefylde. Hvis det er ”tungt” (stor masse) og kompakt (lille volumen), har det et højt massefylde. Årsagen til at ”let” og ”tungt” er i citationstegn i den foregående sætning er, at massefylde er mere end et mål for masse eller vægt; massefylde er også afhængig af størrelse. Du kan forestille dig et bjerg lavet af bomuldskugler, som har et meget lavt massefylde, men stadig er langt for tungt til du kan løfte det, eller en brevvægt af bly, der er meget massiv, men du stadig kan løfte. En vigtig del af definitionen på massefylde, hentydes der til ved sætningen ”relativ til dets størrelse”. Derfor afhænger massefylde både af objektets masse og volumen, som du kan se i følgende definition:

$\textup{massefylde}=\frac{\textup{masse}}{\textup{volumen}}$

(6.1)

Denne ligning gør det klart, at dimensionerne af massefylde, er dimensionerne af masse divideret med dimensionerne af volumen, hvilket i SI enheder betyder, at massefylde opgives i kilogram per kubikmeter (kg/m³). I astronomi, kan du også se massefylde blive udtrykt som gram per kubikcentimeter (g/cm³).

Massefylde er ofte specificeret som et karakteristika for et materiale, og ikke som et helt objekt, da objekter kan være sammensat af forskellige materialer. Og selvom objektet kun består af et materiale, kan massefylden være forskellig på forskellige steder inde i objektet på grund af tryk- og temperaturforskelle inde i objektet. Dybt inde i en stjerne for eksempel, udøver de overliggende lag af stjernen et enormt tryk, som komprimerer materialet i kernen, hvilket betyder at massefylden stiger med dybden. Inde i Solen, er massefylden af hydrogen adskillige gange større end massefylden af jern, men massefylden af hydrogen i toppen af fotosfæren, er tusinder af gange mindre, end luftens massefylde ved Jordens overflade. Så hvad betyder det når man siger, at Solens massefylde er omkring 1.416 kg/m³? Kun at den samlede masse for Solen (2 x 10³⁰ kg), divideret med Solens samlede volumen (1,412 x 10²⁷ m³), giver værdien 1.416 kg/m³, hvilket du kan betragte som Solens gennemsnitlige massefylde.

Nogle materialer (heriblandt de fleste væsker) kan ikke komprimeres, hvilket betyder at deres massefylde ikke er afhængig af det tryk der udøves på dem. Desuden er nogle objekter helt homogene, hvilket betyder at de er uniforme gennem hele deres volumen. I sådanne tilfælde, kan en måling af masse og volumen af enhver lille prøve, blive brugt til at bestemme massefylden af materialet; størrelsen eller placeringen af prøven har ikke nogen betydning, da massefylden skal være den samme alle steder inde i objektet. For eksempel, er densiteten af havvand på omkring 1.000 kg/m³ overalt, så du behøver ikke kende massen eller volumenet af alle Jordens oceaner, for at kunne måle det.

Eksempel 6.1.1: Sorter kasserne i figur 6.1 efter stigende massefylde

Du ved fra tidligere, at sorteringen af kassernes masse er m_flamingo < m_træ < m_klippe. Siden massefylde = masse/volumen, og alle tre kasser har det samme volumen, vil sorteringen af deres massefylder, være den samme som sorteringen af deres masse: massefylde_flamingo < massefylde_træ < massefylde_klippe.

En måde at estimere massefylden af et objekt på, er at forestille sig objektet i vand. Hvis du tabte alle tre kasser i vand, ville flamingokassen flyde meget højt i vandet, klippekassen ville synke meget hurtigt, og trækassen ville være midt derimellem, sandsynligvis være mere halvt nedsænket i vandet med flyde. Årsagen til, at disse kasser med identiske størrelser, finder forskellig ligevægtspunkter i vandet er, at de har forskellige massefylder. Flamingo (~75 kg/m³), har en meget lavere massefylde end vand (1.000 kg/m³), træ (~700 kg/m³) har en massefylde som kun er lidt lavere end vand, og klippe (~3.000 kg/m³) har en massefylde der er meget højere end vand.

Eksempel 6.1.2: Hvad er massefylden for et materiale, hvor en kasse med en sidelængde på 1 cm på alle leder, har en vægt på 0,7 g?

Da du får oplyst størrelsen og massen på objektet, og du forsøger at finde massefylden, kan du bruge ligning 6.1 til at løse opgaven:

$\textup{volumen}=\textup{l\ae ngde}\cdot \textup{bredde}\cdot \textup{h\o jde})(1\; cm)\cdot (1\; cm)\cdot (1\; cm)=1\; cm^{3}$

som du kan konvertere til kubikmeter på denne måde:

$\textup{volumen}=1\; cm^{3}\cdot \left ( \frac{1\; m}{10^{2}\; cm} \right )^{3}=1\; cm^{3}\cdot \frac{1\; m^{3}}{10^{6}\; cm^{3}}=1\cdot 10^{-6}\; m^{3}$

Ved at indsætte dette volumen og denne massen du har fået oplyst i opgavebeskrivelsen (0,7 g eller 0,0007 kg) ind i ligning 6.1, får du:

$\textup{massefylde}=\frac{\textup{masse}}{\textup{volumen}}=\frac{0,0007\; kg}{1\cdot 10^{-6}\cdot m^{3}}=700\; kg/m^{3}$

hvilket nogenlunde svarer til træs massefylde.

6.1.2 – Massefyldeproportionaliteter og grænsetilfælde

Det er ofte lærerigt, at se på hvad der ville ske, hvis du lod den ene fysiske parameter i en ligning gå til en grænseværdi så som nul eller uendeligt. For eksempel, forestil dig det grænsetilfælde med værdierne for volumen og masse på den højre side af ligning 6.1. Disse muligheder kan studeres med et par matematiske tankeeksperimenter.

Først, forestil dig, at volumen ikke ændres og vi lader massen variere. Da massefylde = masse/volumen, betyder det matematisk, at vi gør tælleren på højre side af ligningen, større eller mindre mens vi beholder nævneren til samme værdi, og så ser vi hvordan den venstre side af ligningen ændrer sig. Visualiser en kugle med et fast volumen, for eksempel på størrelse med en appelsin. Hvis du gav den mindre og mindre masse, ved først at lave den af bly, så klippe, så træ, så flamingo, så luft, og nærmede dig det tomme rum, så ville massefylden nærme sig nul. Omvendt, hvis du blev ved med at gøre massen større og større ved det samme faste volumen, ville massefylden nærme sig det uendelige. Det er fordi, at når volumen holdes konstant, er massefylde og masse direkte proportionale: massefylde ∝ masse.

Forestil dig nu at du holder massen konstant, mens du varierer volumen. Det vil sige at du har en konstant masse af ”ting” (så massen ændres ikke), men du kan sprede dem ud over mere plads eller komprimere dem. Matematisk ville du ændre tælleren på den højre side af ligningen, mens du holder nævneren konstant, og ser nu hvordan det påvirker den venstre side af ligningen. En skive luftigt brød fungerer godt for en fysisk analogi. Hvis du kunne sprede det materiale ud over et større volumen, ville de blive mere og mere luftigt, med mere luft eller tomt rum mellem brødpartiklerne. Til sidst, ville materialet blive så meget spredt ud, at det ikke længere ville være synligt; efterhånden som volumenet nærmede sig det uendelige, ville massefylden nærme sig nul. Omvendt, hvis du komprimerede brødet, ville det blive til en lille hård klump, med et højt massefylde. Jo mere kompakt, desto minder volumen, og desto højere massefylde. Som volumenet nærmede sig nul, ville massefylden nærme sig det uendelige. Det er fordi, at når massen holdes konstant, er massefylde og volumen omvendt proportionale: massefylde ∝ 1/V. i grænsematematiske tilfælde, er det 0 = 1/∞ og ∞=1/0, for henholdsvis store og små volumener.

Som et astronomisk eksempel, forestil dig en stjerne ved afslutningens af dens liv. Nogle massive stjerner eksploderer som supernovaer ved afslutningen af deres liv, og spreder det meste af deres masse ud i rummet. Det udsendt materiale forsvinder aldrig helt, men bliver til sidst spredes so meget, at det ikke længere kan påvises, efterhånden som det blander sig med den diffuse gas, der fylder rummet tæt ved vakuum. Den konstant mængde af udstødt masse, bliver spredt over et stadigt større volumen (m_stjerne/(V→∞), så dets massefylde nærmer sig nul.

6.1.3 – Massefylde og kugleformede objekter

De fleste astronomiske objekter du vil støde på i massefyldeopgaver, er tilnærmelsesvis kugleformede: planeter, store måner, og stjerner er nogle få eksempler. Da volumenet af en kugle er V = 3/4π·R³, hvor R er kuglens radius, kan massefylden af en kugle med massen m beregnes således:

$\textup{massefylde}=\frac{m}{\frac{3}{4}\pi \cdot R^{3}}$

(6.2)

Eksempel 6.1.3: Brug Solens radius og masse til at verificere, at den gennemsnitlige massefylde for Solen, er den samme som den vi oplyste tidligere i kapitel 6

Solens radius og masse er henholdsvis 1 R $\bigodot$ = 6,96 x 10⁵ km (eller 6,96 x 10⁸ m), og
1 M $\bigodot$ = 1,99 x 10³⁰ kg. Når du indsætter dette i ligning 6.2 får du:

$\textup{massefylde}=\frac{m}{\frac{3}{4}\pi \cdot R^{3}}$

$=\frac{1,99\cdot 10^{30}\; kg}{\frac{3}{4}\pi \cdot (6,96\cdot 10^{8}\; m)^{3}}=\frac{1,99\cdot 10^{30\; kg}}{\frac{3}{4}\pi \cdot (3,37\cdot 10^{26}\; m^{3})}$

(6.3)

$=1,41\cdot 10^{3}\; \frac{kg}{m^{3}}\; \; \; \; \textup{eller}\; \; \; \; 1.400\; kg/m^{3}$

Bemærk, at massefylde har dimensionerne af masse per volumenenhed, som forventet. En to-trins enhedskonvertering vil oversætte enhederne i svaret, fra kg/m³ til g/cm³, ved at anvende konverteringsfaktorerne 1 kg ↔ 10³ g og 1 m ↔ 10² cm:

$1.400\; \frac{{\color{Red} kg}}{{\color{Red} m^{3}}}\cdot \left ( \frac{10^{3}\; g}{1\; {\color{Red} kg}} \right )\cdot \left ( \frac{1\; {\color{Red} m}}{10^{2}\; cm} \right )^{3}=1.400\cdot (10^{3}\; kg)\cdot \left ( \frac{1}{10^{6}\; cm^{3}} \right )$

$=1,4\; g/cm^{3}$

Eksempel 6.1.4: Hvordan er massefylderne af Solen og Jorden, sammenlignet? Solens radius er omkring 100 gange større end Jordens, og Solen er omkring 300.000 gange tungere end Jorden

$\textup{massefylde}_{Solen}=\frac{\textup{masse}_{Solen}}{\textup{volumen}_{Solen}}=\frac{m_{Solen}}{\frac{3}{4}\pi \cdot R_{Solen}^{3}}$

$\textup{massefylde}_{Jorden}=\frac{\textup{masse}_{Jorden}}{\textup{volumen}_{Jorden}}=\frac{m_{Jorden}}{\frac{3}{4}\pi \cdot R_{Jorden}^{3}}$

$\frac{\textup{massefylde}_{Solen}}{\textup{massefylde}_{Jorden}}=\frac{\frac{m_{Solen}}{\frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Red} 4}}{\color{Red} \pi} \cdot R_{Solen}^{3}}}{\frac{m_{Jorden}}{\frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Red} 4}}{\color{Red} \pi} \cdot R_{Jorden}^{3}}}=\frac{m_{Solen}}{R_{Solen}^{3}}\cdot \frac{R_{Jorden}^{3}}{m_{Jorden}}$

$\frac{\textup{massefylde}_{Solen}}{\textup{massefylde}_{Jorden}}=\frac{m_{Solen}}{m_{Jorden}}\cdot \left ( \frac{R_{Jorden}}{R_{Solen}} \right )^{3}$

(6.4)

Det næste trin er at indsætte værdierne fra sammenligningsinformationerne du fik i starten af opgaven. Når du oversætter ordene til matematik, giver opgaven dig to nøgleforhold du kan bruge: ”Solens radius er 100 gange Jordens radius” bliver til R_Solen = 100R_Jorden, og ”Solens masse er 300.000 gange Jordens masse” bliver til m_Solen = 300.000m_Jorden. Derfor bliver ligningen:

$\frac{\textup{massefylde}_{Solen}}{\textup{massefylde}_{Jorden}}=\frac{300.000\cdot m_{Jorden}}{m_{Jorden}}\cdot \left ( \frac{R_{Jorden}}{100\cdot R_{Jorden}} \right )^{3}$

$=\frac{300.000}{(100)^{3}}=\frac{3}{10}=0,3$

Dette viser, at Solens massefylde er omkring en tredjedel af Jordens massefylde. Og husk nu ikke det vigtige spørgsmål at stille dig selv ”Giver dette resultat nogen mening?”. I dette tilfælde er svaret ”Ja”, fordi solen er sammensat af gas, og Jorden er hovedsageligt klippe, så det er rimeligt at Jorden har en højere gennemsnitsmassefylde.