5.3 – Størrelsesklasser

I tillæg til mængderne for tilsyneladende lysstyrke og luminositet, har astronomerne også et andet system til klassificering af himmelobjekters lysstyrke. Det system kaldet ”størrelsesklassesystemet”, og det er baseret på den måde, som menneskets øje opfatter forskellige lysintensiteter. I dette afsnit, vil vi kigge på to forskellige typer af størrelsesklasser. ”Tilsyneladende størrelsesklasse” er relateret til den tilsyneladende lysstyrke for en lyskilde, eller hvor lysstærk den lyskilde synes for en observatør på Jorden. ”Absolut størrelsesklasse” er relateret til den egentlige lysstyrke, eller luminositet for kilden.

5.3.1 – Tilsyneladende størrelsesklasse

Den tilsyneladende størrelsesklasseskala, blev introduceret for mere end 2.000 år siden, af den græske astronom Hipparchus, der grupperede stjernerne på nattehimlen i seks kategorier. Han grupperede de 20, eller deromkring, klareste stjerner kan kunne se, i en kategori som han kaldte ”første størrelsesklasse”; lidt svagere stjerner blev placeret i kategorien ”anden størrelsesklasse”, stadigt svagere stjerner blev kategoriseret i ”tredje størrelsesklasse”, og sådan fortsatte han, ned til de allersvageste stjerner (dem han kun lige kunne skimte med det blotte øje), som kan kom i kategorien ”sjette størrelsesklasse”. Så Hipparchus’ system, er grundlæggende en bred kategorisering af stjerner, efter deres tilsyneladende lysstyrke, set fra Jorden. Den tilsyneladende størrelsesklasse for et himmelobjekt er ofte betegnet som ”m”. Vær opmærksom på ikke at forveksle dette med ”m”, en variabel der ofte anvendes til at repræsentere masse, og med ”m”, der er forkortelsen for længdeenheden meter. Konteksten burde gære det klart, hvilken af de tre mulige betydninger af det lille ”m” der henvises til.

Tabel 5.1 – Hipparchus’ størrelsesklassesystem

Tilsyneladende
størrelsesklasse
Lysstyrke
m = 1 Klareste stjerner på himlen
m = 2 Klare stjerner
m = 3
Mediumklare stjerner
m = 4
Svage stjerner
m = 5
Meget svage stjerner
m = 6
Knapt synlige stjerner

For at give dig en følelse af Hipparchus’ system, vil de klare stjerner i stjernebilleder som Orion eller Sydkorset, falde ind under Hipparchus’ første størrelsesklassegruppe, de fleste stjerner i Karlsvognen ville falde ind under anden størrelsesklasse gruppe, og stjernerne i Lille Bjørn, ville befinde sig i flere af Hipparchus’ grupper fra anden til fjerde eller femte størrelsesklasse. I nutidens lysforurenede himmel, er stjernerne i Hipparchus’ sjette størrelsesklassegruppe usynlige, fra stort set alle observationssteder.

Da videnskaben begyndte at udvikler teknikker til at lave kvantitative målinger af lyskilders lysstyrke, opdagede de et interessant faktum: det menneskelige syn og opfattelsen af lysstyrke, er logaritmisk snarere end lineært. Det betyder, at hvad vi opfatter som en bestemt forskel i lysstyrke (sammenlignet ved subtraktion), i virkeligheden er et forhold i lysstyrke (sammenlignet ved division). For at forstå dette, forestil dig en observatør kigger på tre stjerner, som for eksempel dem vist i figur 5.3: en meget klar (lad og sige Hipparchus’ første størrelsesklasse), en mindre klar (for eksempel i den anden størrelsesklasse), og en der er endnu svagere (i den tredje størrelsesklasse). Observatøren vil sandsynligvis sige, at forskellen i lysstyrke mellem første størrelsesklasse- og anden størrelsesklassestjernen, er den samme som mellem anden størrelsesklasse- og tredje størrelsesklassestjernen. Men målinger afslører, at anden størrelsesklassestjernen er omkring 2,5 gange svagere end første størrelsesklassestjernen, og tredje størrelsesklasse stjernen er omkring 2,5 gange svagere end anden størrelsesklassestjernen. Så forholdet for lysstyrken mellem klasserne er konstant, men forskellen i lysstyrke er ikke.

Figur 5.3 – Sammenligning af tre stjerners lysstyrke.

Hvis dette virker selvmodsigende, hjælper det måske at komme nogle tal ind i systemet. Forestil dig de tre stjerner der ses af observatøren, har følgende lysstyrke: Den klareste stjerne (vi kalder den ”stjerne 1”), har en tilsyneladende lysstyrke på 10 nW/m2 (hvilket betyder nanowatt per kvadratmeter), den mindre klare stjerne (som vi kalder ”stjerne 2”), har en tilsyneladende lysstyrke på 4 nW/m2, og den mindst klare stjerne (som vi kalder ”stjerne 3”), har en tilsyneladende lysstyrke på 1,6 nW/m2. Et menneske, ville opfatte forskellen mellem stjerne 1 og stjerne 2, som værende den samme, som forskellen mellem stjerne 2 og stjerne 3. Men den faktiske forskel i tilsyneladende lysstyrke mellem stjerne 1 og stjerne 2 er 10 – 4 = 6 nW/m2, mens forskellen mellem stjerne 2 og stjerne 3 er mindre end det halve af det, nemlig 4 – 1,6 = 2,4 nW/m2. Hvad der er det samme mellem disse par af stjerner, er forholdet mellem deres lysstyrke, fordi (10 nW/m2)/(4 nW/m2) = 2,5 og (4 nW/m2)/(1,6 nW/m2)= 2,5.

Det er vigtigt at indse, at et lysstyrkeforhold på omkring 2,5 for hvert trin i størrelsesklassen, betyder at lysstyrkeforholdet mellem en første størrelsesklassestjerne og en tredje størrelsesklassestjerne er omkring 6,3 (da 2,5 x 2,5 ≈ 6,3), og lysstyrkeforholdet mellem en første størrelsesklassestjerne og en fjerde størrelsesklassestjerne er omkring 16 (da 2,53 ≈ 16). Lav ikke den fejltagelse at lægge faktorerne for hvert størrelsesklassetrin sammen; du skal gange lysstyrkeforskellen i hver størrelsesklassetrin, eller dividere hvis du tæller mod svagere stjerner.

I det nittende århundrede, indlagde den britiske astronom Norman Robert Pogson, noget specifitet ind i størrelsesklassekategorierne, ved at foreslå, at fem trin i størrelsesklasse skulle være lig med en faktor på 100 i lysstyrke. Dermed ville lysstyrkeforholdet mellem et trin i størrelsesklasse være lig med 5√100 = 2,512. Figur 5.4 er en tabel, som illustrerer relationen mellem størrelsesklassetrin og lysstyrkeforhold.

Dette forhold, kan indsættes in en ligning som denne:

\textup{lysstyrkeforhold}=(2,512)^{\textup{st\o rrelsesklassetrin}} (5.12)

hvor ”størrelsesklassetrin” (nogle gange kaldet for Δm), repræsenterer antallet af størrelsesklassetrin mellem de to objekter.

Figur 5.4 – Størrelsesklassetrin og lysstyrkeforhold.

Eksempel 5.3.1: Den tilsyneladende størrelsesklasse for stjernen Altair i stjernebilledet Ørnen er m = 0,77, og den tilsyneladende størrelsesklasse af stjernen Merak i Karlsvognen er m = 2,36. Hvilken af disse to stjerner der den mest lysstærke, og med hvilken faktor?

Da stjerner med en højere positiv størrelsesklasse er svagere, er Merak svagere end Altair. Og da hvert trin i størrelsesklasse, repræsenterer en faktor på omkring 2,5 i lysstyrke, ved du, at den forskel er 1,59 størrelsesklassetrin (Δm = 2,36 – 0,77 = 1,59). Det betyder at Altair, skal være mere end 2,5 gange mere lysstærk end Merak. For at få det eksakte tal, kan du bruge ligning 5.12:

\textup{lysstyrkeforhold}=(2,512)^{\Delta m}=(2,512)^{1,59}=4,325

så, Altair er altså lidt over fire gange mere lysstærk, end Merak.

At komme fra antal størrelsesklassetrin til lysstyrkeforhold, er lige til med ligning 5.12. Men hvad hvis du får oplyst et lysstyrkeforhold, og du gerne vil finde ud af hvor mange størrelsesklassetrin det forhold repræsenterer? Før at gøre dette, er du nødt til at løse ligning 5.12, i forhold til antal størrelsesklassetrin, og brugen af logaritmer er værktøjet der hjælper dig med det.

Start med at tage logaritmen (10-talslogaritmen) på begge sider af ligning 5.12:

\log _{10}(\textup{lysstyrkeforhold})=\log _{10}[(2,512)^{\Delta m}] (5.13)

Den ligning ser nok ikke så hjælpsom ud, men husk at log(xa) = a log(x). Ved at anvende denne regel på den højre side af ligning 5.13, får du:

\log _{10}(\textup{lysstyrkeforhold})=\Delta m[\log _{10}(2,512)]

eller

\Delta m=\frac{\log _{10}(\textup{lysstyrkeforhold})}{\log _{10}(2,512)} (5.14)

Eksempel 5.3.2: En stjerne er 100 gange svagere end en stjerne med m = 1, hvad er den tilsyneladende størrelsesklasse for den svagere stjerne?

Du kan regne denne opgave i hovedet, hvis du husker på, at den moderne størrelsesklasseskala er designet på en sådan måde, at fem størrelsesklassetrin, svarer til en faktor på 100 i lysstyrke. Så en stjerne der er 100 gange svagere end en stjerne med en tilsyneladende størrelsesklasse på 1, må derfor have en tilsyneladende størrelsesklasse der er fem trin svagere, hvilket er tilsyneladende størrelsesklasse 6. Her er hvordan du opnår samme resultat, hvis du anvender ligning 5.14:

\Delta m=\frac{\log _{10}(\textup{lysstyrkeforhold})}{\log _{10}(2,512)}=\frac{\log _{10}(100)}{\log _{10}(2,512)}=\frac{2}{0,4}=5,0

Når du bruger en regnemaskine til at lage logaritmer i størrelsesklasseopgaver, er det vigtigt at du trykker på ”log” tasten (hvilket giver den ønskede 10-talslogaritme), og ikke bruger ”ln” tasten (hvilket giver den naturlige logaritme af tallet).

Da optiske instrumenter, tillader os at se objekter der er for svage til at blive set med det blotte øje, har astronomerne udvidet det tilsyneladende størrelsesklassesystem, ud over de seks klasser som Hipparchus lavede. Så en stjerne der er 2,512 gange svagere end en stjerne med m = +6, får m = +7, og en stjerne der er 2,512 gange svagere end den stjerne, får m = +8, og så videre. Ved at bruge en almindelig kikkert under gode forhold, kan di se stjerner ned til en m på omkring +10, og langtidseksponerede fotografier taget med verdens mest følsomme teleskoper der arbejder med synligt lys, kan se stjerner ned til en m på omkring +30.

Årsagen til at vi eksplicit inkludere ”+”-tegnet foran den tilsyneladende størrelsesklasse i før, er fordi, astronomerne også har udvidet Hipparchus’ størrelsesklasseskala til at inkludere mere lysstærke objekter. Og hvordan skal vi klassificere en stjerne der er 2,512 gange mere lysstærk end en stjerne med m = +1? Det må jo så være en stjerne med m = 0. Og en stjerne der er et størrelsesklassetrin mere lysstærk end en nulte størrelsesklassestjerne, må derfor have en m = -1. Hvis man fortsætter i den retning, har astronomerne tildelt m = -4,9 til planeten Venus når den er klarest, fuldmånen har en m på omkring -12,8. Solen er omkring 400.000 gange mere lysstræk ende fuldmånen, hvilket betyder, at m for Solen er omkring -26,8.

Nogle astronomibøger, beskriver størrelsesklasser målt gennem et standardfilter, ved at putte et nedsænket bogstav efter ”m”, som for eksempel mB, for tilsyneladende størrelsesklasse i kun den blå del af det synlige spektrum. Hvis du støder på denne angivelse, kan du bruge ligningerne 5.12 til og med 5.14 på samme måde, som du ville bruge den tilsyneladende størrelsesklasse m – du skal blot anerkende, at størrelsesklassen med det nedsænkede bogstav, refererer til objektets lysstyrke i kun en farve, og objekter har sædvanligvis forskellige størrelsesklasser i forskellige farver.

5.3.2 – Absolut størrelsesklasse

Når du først er bekvem med at arbejde med den tilsyneladende størrelsesklasseskala, er det ikke svært at forstå den absolutte størrelsesklasse (ofte angivet som ”M”). Det er fordi den absolutte størrelsesklasse for et himmelobjekt, vare er den tilsyneladende størrelsesklasse objektet ville have, hvis det befandt sig i en afstand af 10 parsec.

Du vil begynde at sætte pris på værdien af den absolutte størrelsesklasse, ved at tænke på værdierne på de tilsyneladende størrelsesklasser, for nogle velkendte objekter. En gennemsnitsstjerne på nattehimlen, har måske en m omkring +3, men Solen (der astronomisk er en gennemsnitsstjerne), har en m på -26,8. Denne enorme forskel i tilsyneladende størrelsesklasse er på grund af Solens umiddelbare nærhed til Jorden. De kun 150 millioner kilometer mellem Jorden og Solen, er titusinder af gange mindre end afstanden til selv den nærmeste stjerne på nattehimlen. Og da lysstyrken falder med kvadratet på afstanden, har Solen en fordel på adskillige milliarder gange i forhold til den tilsyneladende størrelsesklasse. Så selvom Solens egentlige lysstyrke (dens luminositet) ikke er speciel stor, adskiller dens tilsyneladende størrelsesklasse sig med adskillige trin, fra den tilsyneladende størrelsesklasse for andre stjerner.

Den absolutte størrelsesklasse ”udligner” denne forskel, ved ikke at se på hvor lysstærk et objekt ville se ud fra Jorden, men hvor lysstærkt det objekt ville være, hvis det var 10 parsec væk. Ved begrebsmæssigt at placere alle objekter i den samme afstand, bliver 1/(afstand)2 begrebet som relaterer til den tilsyneladende størrelsesklasse til luminositet, det samme for alle objekter, så den absolutte størrelsesklasse kun kommer til at afhænge af objektets luminositet. På den måde kan du blive sikker på, om stjerner der har en lille eller negativ størrelsesklasse, virkelig er mere lysstærke end stjerner som har en stor og positiv absolut størrelsesklasse.

På den absolutte størrelsesklasseskala, ligger Solen på omkring +4,8, som du kan se i følgende eksempel:

Eksempel 5.3.3: Ved en afstand på 1 AU fra Jorden, har Solen en m = -26,8. Hvad er solens absolutte størrelsesklasse?

Opgaver som denne, nærmest tigger dig om at bruge forholdsmetoden, fordi størrelsesklassetrin er relateret til lysstyrkeforhold. Baseret på definitionen for den absolutte størrelsesklasse, ved du, at Solens absolutte størrelsesklasse, er den tilsyneladende størrelsesklasse Solen ville have, hvis den befandt sig i en afstand af 10 parsec. Så en god tilgang til denne opgave er, at finde ud af hvor mange gange længere væk Solen ville være, hvis dens afstand var 10 parsec, og derefter fastslå, hvor mange gange den ville være svagere, og herefter konvertere dette til et antal størrelsesklassetrin. Du kan herefter lægge det til af trin til Solens tilsyneladende størrelsesklasse på -26,8.

For at fastslå, hvor mange gange længere væk Solen ville være hvis den befandt sig 10 parsec væk i stedet for 1 AU, kan du opstille et forhold mellem disse afstande. Men du er nødt til først, at have disse to afstande i samme enhed. For at gøre det, kan du konvertere 10 parsec til AU, eller du kan konvertere 1 AU til parsec. Vi vil gøre det første her:

10\; pc=10\; pc\cdot \left [ \frac{206.265\; AU}{1\; pc} \right ]=2,06\cdot 10^{6}\; AU

hvilket betyder, at afstandsforholdet er:

\textup{afstandsforhold}=\frac{10\; pc}{1\; AU}=\frac{2,06\cdot 10^{6}\; AU}{1\; AU}=2,06\cdot 10^{6}\; AU

Så Solens afstand ville være omkring to millioner gange større, hvis den befandt sig i en afstand af 10 parsec, i stedet for 1 AU. Før du kan lave afstandsforholdet om til et antal af størrelsesklassetrin, skal du først finde ud af, hvor mange gange svagere Solen ville se ud, hvis den befandt sig 2,06 millioner gange længere væk. Men den værdi, er nøjagtigt hvad den omvendte kvadratlov fortæller dig: hvis du flytter noget dobbelt så langt væk, vil de se fire gange svagere ud. Nøglen er at kvadrere afstandsforholdet, og indsætte det i nævneren, for at få lysstyrkeforholdet, fordi lysstyrken er proportional med 1/(afstand)2. Så hvis Solen var 2,06 x 106 AU længere væk, ville dens lysstyrke formindskes med 1/(2,06 x 106)2 = 1/(4,25 x 1012).

Derfor ville Solen være omkring 4,25 trillioner gange svagere, hvis den var på en afstand af 10 parsec i stedet for den virkelige afstand på 1 AU. For at bestemme hvor mange størrelsesklassetrin der svarer til så mange gange svagere, kan du bruge ligning 5.14:

\Delta m=\frac{\log _{10}(\textup{lysstyrkeforhold})}{\log _{10}(2,512)}=\frac{\log _{10}(4,25\cdot 10^{12})}{\log _{10}(2,512)}=\frac{12,63}{0,4}=31,6

Så Solens tilsyneladende størrelsesklasse vil falde med 31,6 trin, hvis dens afstand til Jorden var 10 parsec. Da Solen ville være svagere med lige så mange trin, skal du lægge 31,6 til Solens tilsyneladende størrelsesklasse på -26,8, for at få dens absolutte størrelsesklasse:

M_{Solen}=-26,8+31,6=+4,8 (5.15)

hvilket er som forventet.

Ligesom du kan støde på tilsyneladende størrelsesklasser med et nedsænket bogstav, som for eksempel mB, kan du også støde på absolutte størrelsesklasser, der refererer til den absolutte størrelsesklasse i kun en del af spektrummet (så MB refererer til den absolutte størrelsesklasse i den blå del af spektret).

5.3.3 – Afstandsmodulet

På samme måde som du kan finde afstanden til et objekt, hvis du kender dets luminositet og tilsyneladende størrelsesklasse, kan du også finde afstanden ved at bruge den absolutte og tilsyneladende størrelsesklasse.

Du kan bedre forstå dette, hvis du gør følgende ved et tankeeksperiment: hvis en stjernes absolutte størrelsesklasse er den samme som dens tilsyneladende størrelsesklasse, hvad kan du så konkludere omkring den stjernes afstand? Da en stjernes absolutte størrelsesklasse, er dens tilsyneladende størrelsesklasse i en afstand af 10 parsec, og da stjernen i dette tilfælde faktisk har den samme tilsyneladende størrelsesklasse, må den være i en afstand af 10 parsec.

Overvej nu, hvad det betyder hvis et objekts tilsyneladende størrelsesklasse er større (det vil sige et større positivt tal), end dets absolutte størrelsesklasse. Da en større positiv størrelsesklasse betyder svagere, vil objektet synes svagere end det ville ved en afstand på 10 parsec, så derfor må dens virkelige afstand være mere end 10 parsec.

Ligeledes, hvis et objekt har en tilsyneladende størrelsesklasse, som er et mindre positivt alt, end dets absolutte størrelsesklasse, så vil det objekt synes klarere, end det ville i en afstand af 10 parsec. Det kan kun betyde, at objektets virkelige afstand er nærmere end 10 parsec.

At vide, om et objekt er nærmere eller længere væk end 10 parsec er anvendeligt, men du kan bestemme præcise afstande, ved at bruge de numeriske forskelle mellem objektets tilsyneladende størrelsesklasse (m), og objektets absolutte størrelsesklasse (M). Forskellen mellem disse mængder, kaldes for ”afstandsmodulet” (AM, eller DM på engelsk af distance modulus), og den er relateret til afstanden (d, målt i enheden parsec) ved denne ligning:

AM=m-M=5\log _{10}\left [ \frac{d}{10\; pc} \right ] (5.16)

som kan løses med hensyn til afstanden (d) sådan her:

10^{\frac{AM}{5}}=10^{\log (d/10\; pc)}

10^{\frac{AM}{5}}=\frac{d}{10\; pc}

d=10\; pc\cdot \left [ 10^{\frac{AM}{5}} \right ]=10\; pc\cdot \left [ 10^{\frac{m-M}{5}} \right ] (5.17)

Eksempel 5.3.4: Stjernen Denebola i stjernebilledet Løven, er bestemt med parallakse, til at befinde sig i en afstand af cirka 36 lysår fra Jorden, og Denebolas tilsyneladende størrelsesklasse er 2,1. Hvad er Denebolas absolutte størrelsesklasse?

Da du har fået oplyst Denebolas tilsyneladende størrelsesklasse (m) og afstande (d), kan du bruge ligning 5.16 til at finde Denebolas absolutte størrelsesklasse (M). Begynd med at løse ligning 5.16 i forhold til M:

AM=m-M=5\log _{10}\left [ \frac{d}{10\; pc} \right ]

M=m-5\log \left [ \frac{d}{10\; pc} \right ] (5.18)

Da afstanden i denne ligning skal være i enheden parsec, er det nødvendigt at konvertere 36 lysår til parsec, inden du indsætter værdierne i ligningen:

36\; ly=36\; ly\cdot \left [ \frac{1\; pc}{3,26\; ly} \right ]=11,0\; pc

der kan indsættes direkte i ligning 5.18:

M=m-5\log \left [ \frac{d}{10\; pc} \right ]=2,1-5\log \left [ \frac{11\; pc}{10\; pc} \right ]=2,1-5\log (1,1)=1,9

Dette er en lille smule mindre end Denebolas tilsyneladende størrelsesklasse, hvilket er som forventet for en stjerne, der er lidt mere end 10 parsec fra Jorden.

Eksempel 5.3.5: En variabel stjerne i Andromedagalaksen, måles til at have en tilsyneladende størrelsesklasse på +18,5, og en absolut størrelsesklasse (hvilken kan findes ud fra dens variationsperiode) på -6. Hvor langt væk er Andromedagalaksen?

Du bliver oplyst både den tilsyneladende og den absolutte størrelsesklasse, så afstandsmodulet kan findes på denne måde:

AM=m-M=18,5-(-6)=24,5

fra hvilken, afstanden (d, målt i parsec) kan findes, ved at gøre brug af ligning 5.17:

d=10\; pc\cdot \left [ 10^{\frac{AM}{5}} \right ]=10\; pc\cdot \left [ 10^{\frac{24,5}{5}} \right ]=10\; pc\cdot [10^{4,9}]=10\; pc\cdot (79.432,8)

=794.328\; pc

der er over 2,5 millioner lysår. Det giver mening, at den tilsyneladende størrelsesklasse skal være meget større (svagere), end den absolutte størrelsesklasse, for et objekt der er så langt væk. Det giver også mening, at den absolutte størrelsesklasse er så klar (negativ), fordi kun en ekstremt luminøs stjerne, ville kunne ses så langt væk, som i en anden galakse.