5.1 – Stjerneparallakse

Som vi beskrev i afsnit 4.1, er parallakse den tilsyneladende forskydning af et objekts position, grundet ændring af synslinjen mellem observatøren og objektet. Størrelsen på forskydningen afhænger af afstanden til objektet, og hvor langt observatøren bevæger sig (kaldet målingens grundlinje). Astronomer drager fordel af denne effekt til måling af afstanden til stjerner, fordi Jorden kredser omkring Solen, hvilket får stjernerne til at skifte deres tilsyneladende position i forhold til stjerner i den fjerne baggrund.

5.1.1 – Stjerneparallakseligningen

Som Jorden bevæger sig fra den ene side af dens kredsløb om Solen, til den anden i løbet af et halvt år, er en stjernes tilsyneladende parallaksevinkelskift og afstand til Jorden, relateret ved denne ligning:

d=\frac{1}{p} (5.1)

hvor d er afstanden til stjernen i enheden parsec (pc), og p er parallaksevinkelskiftet i enheden buesekunder (”). En parsec, er en enorm afstand set med menneskets øjne (1 pc = 3,09 x 1013 km = 3,26 lysår), men den er relativt lille, set med astronomiske øjne, som jo ofte har med enorme afstande at gøre. Ligeledes, er 1 buesekund en meget lille vinkel set med menneskets øjne (1” = 1/3.600-del grad), men den er anvendelig i astronomi, som ofte arbejder med meget små vinkler.

For at ligning 5.1 kommer til at fungere, skal mængderne altid være i de specificerede enheder. Faktisk, er 1 parsec defineret som afstanden fra Jorden til en stjerne, der udviser et parallaksevinkelskift på 1 buesekund, når den observeres fra modsatte side af Jordens kredsløb. Hvis du er omhyggelig med at sikre dig, at enhederne altid er i de korrekte enheder, så er ligningen blot en omvendt proportionalitet uden konstanter, og det gør den til en af de simpleste ligninger du vil støde på i astronomi.

Eksempel 5.1.1: Herunder, er parallaksevinklerne for fire stjerner angivet. Hvilken af disse fire stjerner er længst fra Jorden, og hvilken er tættest?

Alcor: parallaksevinkel = 0,04”                         Procyon: parallaksevinkel = 0,3”
Kappa Ceti: parallaksevinkel = 0,1”                GQ Lupi: parallaksevinkel = 0,008”

Husk, at en omvendt proportionalitet betyder, at når en mængde bliver mindre, bliver den anden større, og omvendt. Det betyder, at jo længere væk en stjerne er, er afstanden større, og derfor er parallaksevinklen mindre. Så, for at finde den stjerne der er længst væk, kig efter den mindste vinkel. Af disse fire stjerner, er det stjernen GQ Lupi der har den mindste parallaksevinkel på 0,008”. Den nærmeste stjerne er Procyon, fordi den har den største parallaksevinkel på 0,3”.

Ligning 5.1 kan kun anvendes til afstandsmålinger uden for vores eget Solsystem, som for eksempel andre stjerner. Og det er ikke muligt at måle parallaksen for alle stjerner – kun de nærmeste i vores egen Galakse, hvor ”de nærmeste” i dette tilfælde, betyder inden for nogle få hundrede parsec. Ved afstande større end det, er parallaksevinklerne så små, selvom parallaksefænomenet stadig opstår, at selv de bedste instrumenter ikke har tilstrækkelig vinkelopløsning, til at kunne måle dem, som beskrevet i afsnit 4.3.

5.1.2 – Løsning af parallakseopgaver: den absolutte metode

Hvis du får oplyst enten en afstand, eller en parallaksevinkel, kan du bruge ligning 5.1 til at beregne den anden værdi. Hvis mængden du bliver oplyst har den korrekte enhed (parsec for afstand, eller buesekunder for vinkel), så kan du ganske enkelt indsætte den oplyste værdi i ligningen, og udføre beregningen. Dit resultat, vil automatisk være i den korrekte enhed for den mængde du vil finde. Hvis tallet du får oplyst ikke er i den korrekte enhed, så skal du foretage en enhedskonvertering inden du indsætter værdien ind i ligning 5.1.

Eksempel 5.1.2: Hvor langt væk er stjernen Alcor fra forrige eksempel?

Alcor har en parallaksevinkel på 0,04”, og da buesekunder er den korrekte enhed til brug i ligning 5.1, kan du indsætte 0,04 direkte ind i ligningen. Ved at omskrive parallaksevinklen som en brøk, gøres beregningen ofte lettere (0,04 = 4/100), og i dette tilfælde er opgaven simpel nok til, at du ikke behøver en regnemaskine:

d=\frac{1}{p}=\frac{1}{0,04}=\frac{1}{\frac{4}{100}}=\frac{100}{4}=25=25\; pc

Da du indsætte værdien af parallaksevinklen i buesekunder, bliver afstanden du beregner, automatisk til enheden parces. Genvejen du brugte for at komme fra 1/(4/100) til 4/100 er det faktum, at 1 divideret med en hvilken som helst brøk, ganske enkelt er den omvendte af den brøk, og den genvej kommer dig ofte til nytte, når du arbejder med parallakseopgaver.

Eksempel 5.1.3: Polaris (”Nordstjernen”) befinder sig 434 lysår væk. Hvad er dens parallaksevinkel?

Denne opgave skal løses i to trin, før du kan indsætte værdierne ind i ligning 5.1. Først, skal du omarrangere ligning 5.1, og løse den med hensyn til parallaksevinklen p, da p er den mængde du bliver bedt om at beregne:

d=\frac{p}{1}\rightarrow d\cdot \frac{1}{p}=\frac{1}{{\color{Red} p}}\cdot\frac{{\color{Red} p}}{1}=1

d\cdot p=1\rightarrow \frac{{\color{Red} d}\cdot p}{{\color{Red} d}}=\frac{1}{d}

p=\frac{1}{d} (5.2)

For det andet, er afstanden oplyst med enheden lysår i stedet for parsec, så du er nødt til at udføre en enhedskonvertering. Den relevante konverteringsfaktor er 1 pc ↔ 3,26 ly. Du kan inkludere enhedskonverteringen når du indsætter værdien af d ind i ligning 5.2:

p=\frac{1}{d}=\frac{1}{434\; {\color{Red} ly}}\cdot \left ( \frac{3,26\; {\color{Red} ly}}{1\; pc} \right )=\frac{3,26}{434\; pc}=\frac{3,26}{434}buesekunder=0,0075''

At anvende den nødvendige afstandsenhed parsec i nævneren, garanterer at resultatet for vinklen, kommer ud i buesekunder. Denne vinkel, omkring 7,5 tusindedele af et buesekund (eller 7,5 millibuesekunder), kan nemt påvises af moderne teleskoper.

5.1.3 – Løsnings af parallakseopgaver: forholdsmetoden

Hvis du kun behøver at sammenligne to mængder, i stedet for at beregne en absolut værdi, så kan forholdsmetoden spare dig for meget tid. Dette eksempel viser, hvordan du kan bruge forholdsmetoden til at løse en parallakseopgave.

Eksempel 5.1.4: Jordens nærmeste stjerne, ud over Solen, er Proxima Centauri, som befinder sig omkring 4 ly væk. Polaris’ afstand er 100 gange større end Proxima Centauris afstand. Hvordan er deres parallaksevinkler sammenlignet med hinanden?

Du kunne løse denne opgave ved at anvende den absolutte metode, som i det forrige eksempel. Da du har fået oplyst begge afstande, kunne du beregne begge parallaksevinkler individuelt, og derefter sammenligne dem ved at dividere den ene med den anden. Forholdsmetoden er imidlertid hurtigere, fordi den omgår det unødvendige mellemliggende trin, hvor du foretager en beregning af begge vinkler.

Hvis du husker på, at afstand og parallaksevinkel deler et omvendt proportionalitetsforhold med hinanden, kan du måske få resultatet intuitivt. Da Polaris’ afstand er 100 gange større, skal dens parallaksevinkel være 100 gange mindre. For at løse opgaven ved at skrive den matematisk, brug forholdsmetoden, som beskrevet i afsnit 1.2.3. Først skriver du parallakseligningerne for begge stjerner separat, og bruger nedsænkede mærker for at angive stjernen for hvilken ligningen er for:

d_{proxima}=\frac{1}{p_{proxima}}\; \; \; \; \textup{og}\; \; \; \; d_{polaris}=\frac{1}{p_{polaris}}

Nu dividerer du den ene ligning med den anden og reducerer:

\frac{d_{proxima}=\frac{1}{p_{proxima}}}{d_{polaris}=\frac{1}{p_{polaris}}}\rightarrow \frac{d_{proxima}}{d_{polaris}}=\frac{1}{p_{proxima}}\cdot \frac{p_{polaris}}{1}

\frac{d_{proxima}}{d_{polaris}}=\frac{p_{polaris}}{p_{proxima}} (5.3)

Oversæt så den information du har fået i opgaven – ”Polaris’ afstand, er 100 gange større end Proximas afstand” – fra ord til et matematisk forhold, som beskrevet i afsnit 1.2.4:

d_{polaris}=100\cdot d_{proxima}

Ved at indsætte 100 x dProxima i ligning 5.3 i stedet for dPolaris giver det:

\frac{{\color{Red} d_{proxima}}}{100\cdot {\color{Red} d_{proxima}}}=\frac{p_{polaris}}{p_{proxima}}\rightarrow \frac{1}{100}=\frac{p_{polaris}}{p_{proxima}}

Afsnit 1.2.4 giver lidt vejledning i, hvordan man skal tolke dette forholdsresultat, hvilket fortæller dig, at forholdet mellem parallaksevinklerne er 1 til 100, med Proxima Centauris parallaksevinkel værende 100 gange større. Med andre ord, Polaris’ parallaksevinkel er 100 gange mindre (eller en hundrede del så stor). At gange igennem med pProxima, gør dette endnu mere tydeligt:

p_{polaris}=\frac{1}{100}p_{proxima}

Dette resultat giver det samme som det du forudsagde, nemlig at Polaris’ parallakse, er 100 gange mindre end Proximas parallakse. Bemærk, at forholdsmetoden understreger sammenligningen mellem værdierne, så du behøvede ikke deres individuelle afstande, kun deres indbyrdes forhold.