Selv små børn ved, at et objekt ”bliver mindre” som afstanden bliver større. Den fysiske størrelse på det objekt ændrer sig dog ikke, så hvad er det, der får objektet til at virke mindre? Svaret på det spørgsmål er ”vinkelstørrelsen” for objektet mindskes med afstanden, og vinkelstørrelse er emnet for dette kapitel.
4.2.1 – Vinkelstørrelseskonceptet
For at forstå hvorfor vinkelstørrelsen mindskes med afstanden, er du nødt til at indse at vinkelstørrelsen (også kaldet ”vinkeldiameteren”) for et objekt til en given observatør, er vinklen mellem synsvinklen fra observatøren til en kant af objektet og synsvinklen til den modsatte kant af objektet. Dette kan du se et eksempel på i figur 4.4.
Nogle elever, har svært ved at skelne imellem forskellen på vinkelstørrelse og parallaksevinkel, men du kan bedre forstå forskellen, ved at sammenligne figur 4.4 med figur 4.1. Både vinkelstørrelsen og parallakse, involverer forskellen mellem to synsvinkler, men måden hvorpå disse synsvinkler dannes, er fuldstændig forskellig. Hovedforskellen er, at parallakse opstår når det samme objekt observeres fra to forskellige placeringer (enderne af grundlinjen, som vist i figur 4.1), mens målingen af vinkelstørrelsen foretages fra den samme placering, men to forskellige punkter observeres på objektet (som vist i figur 4.4). Simpelt gengivet, skifter observationspunktet for parallaksemålinger, hvor observationspunktet forbliver det samme for måling af vinkelstørrelsen.
Et tip som nogle elever finder brugbart i at skelne vinkelstørrelse fra parallakse er, at huske på hvilken vej trekanten peger. I parallaksemålinger, er grundlinjen (bunden af trekanten) mellem to observationspunkter, og trekanten peger væk fra observatøren. I vinkelstørrelsesmålinger, er bunden af trekanten den fysiske størrelse på objektet, og trekanten peger mod observatøren.
I modsætning til fysisk størrelse, som udelukkende fastslås af dimensionerne på objektet, afhænger vinkelstørrelsen både af den fysiske størrelse på objektet, og afstanden til observatøren. For at se dette, kig på hvad der ville ske hvis objektet i figur 4.4, var tættere på observatøren som vist i figur 4.5.
I dette tilfælde, betyder den kortere afstand til objektet, at vinklen der dannes ved observationspunktet af de to synsvinkler til hver kant af objektet, bliver større. Derfor har vinkelstørrelsen en omvendt relation til afstanden; for små vinkler, vil halvering af afstanden, fordoble vinkelstørrelsen på objektet (så vinkelstørrelse er omvendt proportional med afstanden, ved små vinkler).
Som du kan se i figur 4.6, afhænger vinkelstørrelsen også af den fysiske størrelse på objektet – større objekter giver en større vinkel end mindre objekter i samme afstand. Som du måske allerede har gættet, er vinkelstørrelsen direkte proportional med den fysiske størrelse på objektet, for små vinkler. Ved at kombinere den omvendte proportionalitet til afstanden med den direkte proportionalitet for objektets fysiske størrelse, kan vinkelstørrelsen skrives som:
| (4.4) |
eller
| (4.5) |
4.2.2 – Beregning af vinkelstørrelsen
Proportionalitetskonstanten i ligning 4.5 er 1,0, så længe enheden for vinkelstørrelsen er radianer, og enheden for den fysiske størrelse er den samme som enheden for afstanden. Men selv uden at kende enhederne, kan du bruge proportionalitetsforholdet i ligning 4.4 og 4.5, til at løse opgaver med vinkelstørrelser ved at anvende forholdsmetoden. Her er et eksempel:
Eksempel 4.2.1: Solens diameter er omkring 1.390.000 km, hvilket er omkring 400 gange større end Månens diameter. Men Solens afstand fra Jorden, er også omkring 400 gange større, end afstanden fra Jorden til Månen. Hvordan er størrelsen på Solens vinkelstørrelse i forhold til Månens vinkelstørrelse, set fra Jorden?
Som i haj-parallakseeksemplet, kan du bruge forholdsmetoden til at løse denne opgave i hovedet. Da den fysiske størrelse er i tælleren i ligning 4.4, og afstanden i nævneren, bliver Solens større fysiske størrelse, kompenseret af dens større afstand – hvis både tæller og nævner er 400 gange større for Solen sammenlignet med Månen, må vinkelstørrelsen for Solen og Månen være omkring den samme. Det er derfor Månen lige præcis kan dække over Solen ved en total solformørkelse.
Her er en version af vinkelstørrelsesligningen, som minder dig om hvilke enheder der skal anvendes:
| (4.6) |
Eksempel 4.2.2: Hvad er diameteren på en planet, hvis vinkelstørrelse er 47” set fra Jorden, når afstanden til planeten er 4,2 AU?
I denne opgave, får du oplyst vinkelstørrelsen på et objekt, og afstanden fra observatøren til objektet, og du bliver bedt om at finde den fysisk størrelse på objektet. Dette er variablerne i ligning 4.6, selvom du er nødt til at bruge noget enhedskonvertering før du kan bruge ligningen. Og som altid, er det en god ide først at omarrangere ligningen, så du isolerer den mængde du vil finde på venstre side af ligningen:
| (4.7) |
Før du indsætter værdierne for vinkelstørrelsen og afstanden, er du nødt til at konvertere enheden for vinkelstørrelse fra buesekunder til radianer, ved at bruge de faktum at 1º ↔ 3.600”:
Da enheden AU fungerer godt ved angivelse af planetære afstande, er den ikke særlig anvendelig i forhold til udtryk af diameteren på en planet, så konvertering af afstanden på 4,2 AU til kilometer, er en god ide:
Med parametrene i de korrekte enheder, kan du nu indsætte værdierne i ligning 4.7:
hvilket er diameteren på planeten Jupiter.
Hvis du ønsker at finde vinkelstørrelsen på et objekt i grader, kan du bruge ligning 4.6 til at finde vinkelstørrelsen i radianer, og herefter konverterer dit svar til grader, eller du kan inkludere konverteringsfaktoren direkte i vinkelstørrelsesligningen på denne måde:
eller
| (4.8) |
i hvilken, enheden for den fysiske størrelse skal være den samme som enheden for afstanden.
Det næste afsnit i dette kapitel, vil hjælpe dig med at forstå, hvorfor den meget lille vinkelstørrelse for stjerner, gør det næsten umuligt at opløse deres overflader, selv med det største teleskoper vi har til rådighed i dag.