Dopplereffekten er basis for en af det mest effektive værktøjer, der bruges af astronomer som søger efter planeter, der kredser omkring andre stjerner end Solen. At opdage sådanne ”ekstrasolare” planeter direkte ved visuelle observationer, er ekstremt svært – forestil dig at kunne se lyset der reflekteres af en myg foran en lommelygte. Men lige siden Newton modificerede Keplers love, har astronomerne været opmærksomme på muligheden til, at finde ekstrasolare planeter indirekte, ved at måle planetens tyngdetiltræknings påvirkning af dens stjerne.
Denne påvirkning, kommer fra den anden modifikation, som Newton lavede til Keplers love. Som vi forklarede i afsnit 3.2, var Newtons første modifikation til Keplers love, at inkludere et massebegreb i ligningen, der relaterer kredsløbsperioden til den halve storakse. Men Newtons anden modifikation var lige så vigtig: anvendelse af hans bevægelseslove på kredsløbsbevægelser. Newton fastslog, at planeter ikke kredser omkring centrum af en stationær Sol.
I stedet, kredser både planeten og Solen omkring et punkt kaldet ”massecentrum” for Sol-planetsystemet. Du kan se en begrebsmæssig afbildning af dette i figur 3.10, i hvilken det lille ”x” repræsenterer massecentrummet mellem en omkredsende planet og dens stjerne. Bemærk, at ud over planetens kredsløb, er et andet (mindre) kredsløb tilføjet, og det kredsløb er mærket som ”stjernens kredsløb” i figuren. Massecentrummet er i brændpunktet for både planetens kredsløb og stjernens kredsløb, i overensstemmelse med Keplers love modificeret af Newton. Massecentrum af stjerne-planetsystemet, er altid på en linje, mellem stjernens centrum og planetens centrum, hvilket betyder, at stjernen og planeten har den samme kredsløbsperiode.
I realiteten, er stjerner så meget mere massive end planeterne, at massecentrummet mellem planeten og stjernen i mange tilfælde, befinder sig ved et punkt inde i stjernen. Så i stedet for at kredse omkring et eksternt punkt, slingrer stjernen omkring et punkt et sted mellem dens centrum og den ydre lag.
Når du først forstår den idé, at stjerner med planeter kredser (eller i det mindste slingrer) omkring et fælles massecentrum, er det næste trin at forstå radialhastighedsplots, så du kan forestille dig en observatør, der iagttager sådan en stjerne, som det er vist i figur 3.11.
I denne figur, befinder både stjernens kredsløb og observatøren sig i samme plan (siderne i denne bogs plan). Som du kan se, er der et sted hvor stjernen bevæger sig direkte imod observatøren, og et andet sted, hvor stjernen bevæger sig direkte væk fra observatøren (det vil sige langs med synsfeltet). Ligeledes, er der to steder, hvor stjernen hverken bevæger sig imod eller væk fra observatøren, men kun ”sidelæns” (astronomerne kalder denne retning for ”tværgående af synsfeltet”). Alle andre steder, bevæger stjernen sig delvist imod eller væk, og delvist sidelæns.
Hvorfor er dette vigtigt? Fordi astronomerne bruger Dopplereffekten til at finde denne kredsløbsbevægelse for stjerner med planeter. Og Dopplerforskydning dannes af ”radial” bevægelse, men ikke af ”tværgående” bevægelse.
Forskellen mellem radial og tværgående bevægelse, forklares i figur 3.12. Bemærk, at den radiale retning defineres som retningen langs med observatørens synsfelt, og den tværgående bevægelse defineres som retningen vinkelret på observatørens synsfelt. Hvis et objekt bevæger sig i en retning der hverken er helt radial eller helt tværgående, kan dets samlede hastighed nedbrydes til to dele: radialhastigheden (langs med synsfeltet) og den tværgående hastighed (vinkelret på synsfeltet). Det er vedtaget, at den radiale hastighed anses for positiv hvis objektet bevæger sig væk fra observatøren, og negativ hvis objektet bevæger sig imod observatøren.
Radial og tværgående hastighed er vigtigt for at forstå observationerne af stjerner i kredsløb, som vist i figur 3.13.
Bemærk, at som stjernen kredser, peger den samlede hastighed i forskellige retninger (altid i i tangent til kredsløbet). Det betyder, at selv hvis stjernens kredsløbshastighed forbliver den samme (som den ville være i et perfekt cirkulært kredsløb ifølge Keplers anden lov), skifter den radiale del af hastigheden konstant.
Figur 3.13 viser det cirkulære kredsløb for en stjerne (størrelsen er overdrevet, så den kredser omkring et punkt langt uden for stjernen selv), som den observeres af en fjern observatør, der befinder sig længst til venstre på siden. Observatøren er så langt væk, at retningen imod ham eller hende i direkte mod venstre fra alle steder på siden, uanset hvor stjernen er i sit kredsløb. I toppen af kredsløbet vist i denne figur (position A), bevæger stjernen sig direkte mod observatøren, så hastigheden er udelukkende radial (og negativ). Men efterhånden som stjernen bevæger sig langs med dens kredsløb til position C, bliver den radiale del af hastigheden mindre (det vil sige et mindre negativt tal), selvom den samlede hastighed forbliver den samme. Og når stjernen når position F, bevæger stjernen sig hverken imod eller væk fra observatøren, så hastigheden er udelukkende tværgående (den radiale del af hastigheden er nul). Efterhånden som stjernen bevæger sig imod position I, stiger den radiale del af hastigheden igen (denne gang i positiv retning), og når dens maksimum, når stjernen befinder sig ved position K.
Relevansen af den skiftende radialhastighed af en omkredsende stjerne erm at Dopplerforskydningen af stjernens lys, vil går fra et relativt stærkt blåforskudt ved position A, til en mindre blåforskydning ved position C, til ingen forskydning ved position F, så en mindre rødforskydning ved position I, og en relativ stærk rødforskydning ved position K (husk, at Dopplerforskydningen kun dannes af den radiale del af bevægelsen). Som stjernen arbejder sig om på den anden side af kredsløbet, fra position K tilbage til position A i figur 3.13, Vil Dopplerforskydningen gå fra en relativt stærkt rødforskydning, så ingen forskydning og til sidst en relativt stærk blåforskydning. Denne skiftende Dopplerforskydning, er kendetegnende for en stjerne, der har en omkredsende planet (eller flere).
For at forstå den præcise karakter af den skiftende Dopplerforskydning, så kig på stjernens radialhastighed ved de viste mellempositioner i figur 3.14. I denne figur, indikerer længden på de stiplede vandrette pile kun den radiale hastighed. For at gøre det nemmere at sammenligne den radiale hastighed ved mellempositionerne mellem A og K, viser den højre side af figuren den radiale hastighed ved hver position, startende fra den samme venstre-højre position.
Endnu mere lærerige, er plottene i figur 3.15, hvor afstanden mellem positionerne A til K, er blevet justeret til at repræsentere ligelige tidsintervaller. Bemærk, at i den venstre del af figuren, er den lodrette afstand mellem position A og position B blevet forøget, ligesom afstanden mellem position J og position K, for at repræsentere den længere tid det tager stjernen, at bevæge sig mellem disse positioner (fordi positionerne A og B er adskilt med 30º, ligeledes er positionerne J og K, hvor alle andre positioner er adskilt af 15º).
Ved at vende dette grafen på siden (rotere det 90º mod uret), giver det plot der er vist i højre side af figur 3.15, hvilket har formen af et standard Radialhastighedsplot (nogle gange betegnet som et RH plot): en graf med den radiale hastighed plottet på den lodrette akse og tiden plottet på den vandrette akse.
Linjen som forbinder punkterne for radialhastighedspilene viser, at den radiale hastighed af en stjerne i et cirkulært kredsløb, varierer sinusagtigt (det vil sige, som en sinus- eller cosinusgraf). Da kun det halve af et komplet kredsløb er aftegnet i denne figur, udgør den radiale hastighed halvdelen af et komplet kredsløb. Havde vi tegnet den radiale hastighed for flere kredsløb, ville grafen have set ud, som den i figur 3.16, men flere cyklusser.
Bemærk, at startpunktet for et radialhastighedsplot kan være positiv, negativ, eller nul, alt efter positionen af stjernens i dens kredsløb, ved den første observation. Du skal også være opmærksom på, at i radialhastighedsplots lavet ud fra data fra rigtige stjerner, er toppene og dalene måske ikke perfekt symmetriske, hvilket betyder at stjernens kredsløb ikke er perfekt cirkulært, men noget elliptisk. Jo højerer excentricitet stjernens kredsløb har, desto mere assymmetrisk er RH plottet. Ligledes, er rigtige RH plots ikke fortløbende kurver, men en serie af individuelle datapunkter, hvortil en kurve tilpasses. Hvert datapunkt i et radialhastighedsplot, repræsenterer en observation af stjernen under hvilken, stjernens radialhastighed blev målt ved Dopplerforskydningen af stjernens spektrum.
Når man fortolker radialhastighedsplots, er det meget vigtigt at have følgende to forbehold i tankerne:
- Da hastigheden vist i grafen kun er den radiale del af hastigheden (langs synsfeltet), er det ikke den samlede hastighed af objektet gennem rummet.
- En radial hastighed på nul på grafen, betyder ikke at objektet ikke bevæger sig; det betyder at objektet er i et punkt i dets kredsløb, hvor hastigheden er fuldstændig tværgående (vinkelret på synsfeltet).
Eksempel 3.4.1: I eksempel RH plottet i figur 3.17, hvor mange gange blev stjernen målt separat til, at bevæge sig væk fra observatøren med en hastighed større end 20 m/s?
På denne graf er der 12 individuelle datapunkter, som repræsenterer 12 målinger af stjernens hastighed, henover en periode på omkring 3 år. Kurven der forbinder disse punkter er ”kurven med den bedste pasform” (hvilket betyder at den sinusformede kurve kommer tættest på alle datapunkterne); denne kurve viser, hvordan den radiale hastighed skifter mellem måletidspunkterne. Stjernens radiale hastighed varierer fra omkring -30 m/s til omkring +30 m/s, hvilket du kan se ved at kigge på y-værdierne for datapunkterne og bedste pasformkurven.
Da positiv radialhastighed svarer til bevægelse væk fra observatøren, skal du for at besvare spørgsmålet stillet i dette eksempel, kigge på datapunkter hvor radialhastigheden var større end +20 m/s. Som du kan se af y-værdierne for datapunkterne, er der tre separate gange, hvor stjernens radiale hastighed blev målt til en værdi på mere end 20 m/s: en sent i 2010, en tidligt i 2011, og en midt i 2012.
Planetens kredsløbsperiode kan også bestemmes ud fra et RH plot. For at se hvordan man gør det, så skal du replikerer det gentagne mønster af den negative-positive hastighedssvingning i RH plottet. Tiden fra en bølgetop til den næste – eller fra en bølgedal til den næste – er perioden på kredsløbet. Det er den tid som er gået under præcist et kredsløb for stjernen. For den viste stjerne i eksempel RH plottet i figur 3.17, er perioden omkring 17 markeringer på x-aksen, eller omkring 20 måneder.
Udover at kunne afsløre tilstedeværelsen af en planet som kredser omkring den slingrende stjerne, kan radialhastighedsmålinger også kombineres med anden information, for at finde den halve storakse for planetens kredsløb, og selv massen på planeten. For at finde den halve storakse, er det nødvendigt at kende massen af planetens moderstjerne, som kan estimeres ud fra dens placering i Hertzsprung-Russel diagrammet, som beskrives i afsnit 5.4. Når du har stjernens masse (M) ved hånden, og planetens kredsløbsperiode (P) bestemt ud fra RH plottet, kan du finde den halve storakse (a) for planetens kredsløb, ved at anvende Newtons modificerede version af Keplers tredje lov (P2 = a3/M). For cirkulære kredsløb, er det at kende den halve storakse (hvilket er lig med radiussen af det cirkulære kredsløb), og perioden, kan planetens planetære hastighed bestemmes, ved at dividere omkredsen af kredsløbet, med kredsløbsperioden. Og kender du stjernens kredsløbshastighed, og planetens kredsløbshastighed, samt stjernens masse, kan du bestemme planetens masse ved at bruge loven om impulsmoment.
Du tænker måske over, om RH plots kan bruges, når observatøren ikke befinder sig i kredsløbets plan. For at forstå denne effekt, forestil dig det ekstreme tilfælde, hvor observatørens synsfelt, er vinkelret på planet for kredsløbet, som det er tilfældet i den øverste tegning i figur 3.19 (i hver af disse tegninger, er kredsløbets plan vinkelret på papirets plan).
For enhver observatør, der betragter kredsløbet direkte vinkelret, er stjernens bevægelse alle steder vinkelret på observatørens synsvinkel. Den observatør, ville ikke se nogen Dopplerforskydning på grund af stjernens bevægelse, og ville derfor korrekt konkludere, at stjernen ikke har nogen radial hastighed. For sådanne kredsløb, ville RH plots registrere en konstant radial hastighed på nul, og radialhastighedsteknikken er ikke brugbar i at finde slingrende stjerner – og dermed planeter – i disse tilfælde.
Så, mens en observatør der kigger direkte vinkelret på stjernens kredsløb, ikke ville kunne måle nogen Dopplerforskydning, vil en observatør i samme plan som kredsløbet (det vil sige kigge på kredsløbet fra kanten), vil kunne måle den fulde styrke af Dopplerforskydningen på grund af stjernens bevægelse. Men hvad med observatører ved de mellemliggende vinkler mellem kredsløbets plan og vinkelret på kredsløbets plan? De vil se en ”formindsket” Dopplerforskydning, og deres RH plots vil have en reduceret amplitude (lavere toppe og mindre dybe dale), en dem som observatøren i kredsløbets plan vil kunne måle. Men ved radialhastighedsmetoden, kan observatøren ikke vide på forhånd, med hvilken vinkel de observerer kredsløbet fra, fordi de ikke kan se kredsløbet direkte; de udleder kredsløbet ud fra Dopplerforskydningen af stjernens lys. De ved derfor typisk ikke, om RH plottet af deres observationer, viser den fulde amplitude eller en reduceret amplitude. Som et resultat her af, er der en vis tvetydighed i planetens udledte masse, der trækker i stjernen og forårsager dens slingren.
Effekten af kredsløbets inklination er årsagen til, at du ofte hører at planeters masse der er udledt af RH plots, refereres som ”minimummasser”. Disse er ofte mærket med ”M sin i”, hvor M er den ukendte planets masse, og i er den ukendte inklinationsvinkel for kredsløbet, der kan være mellem 0º og 90º. Dette betyder at den trigonometriske funktion ”sin i”, giver en multiplikativ faktor mellem 0 og 1 (men aldrig større end 1). Hvis i = 0, observeres kredsløbet direkte vinkelret på dets kredsløb, så der vil ikke kunne måles en Dopplerforskydning, og M sin 0º = 0, hvilket betyder ”ingen planet fundet”. Hvis i = 90º, ses kredsløbet fra samme plan som kredsløbet selv, og M sin 90º = M, så den faktiske planetmasse kan udledes.
En anden måde at forstå dette på er, at indse at massen på planeten udledt med denne teknik (Mudledt) er den faktiske planetmasse (Mfaktisk) ganget med sin i:
Hvilket betyder at:
| (3.14) |
Så kun i tilfældet hvor i = 90º, er Mfaktisk lig med Mudledt, da sin 90º = 1. I alle andre tilfælde, er faktoren af sin i i nævneren, mindre end 1, hvilket gør Mfaktisk større end Mudledt. Dermed er Mudledt den mindst mulige masse for planeten.
I sjældne tilfælde, observeres en planet der ”formørker” dens moderstjerne. Det betyder at kredsløbsplanet er justeret så præcist til vores synsvinkel, at planeten passerer direkte ind foran dens stjerne, en gang per kredsløb, og midlertidigt blokerer en meget lille det af stjernens lys, så synsvinklen er kendt til at være meget tæt på samme plan som kredsløbet. I sådanne tilfælde, viser RH plottet næsten den fulde Dopplerforskydning, og den udledte planetmasse er tæt på at være meget tæt på planetens faktiske masse.