3.3 – Dopplerforskydning – astronomi.androide.dk

Et af de mest kraftfulde værktøjer i en astronoms værktøjskasse, er evnen til at måle den hastighed hvormed et objekt bevæger sig mod eller væk fra Jorden. Dette værktøj kaldes for ”Dopplerforskydning”, og den virker for ethvert objekt der udsender eller reflekterer elektromagnetiske bølger.

3.3.1 – Dopplereffekten

Du er nok allerede bekendt med Dopplereffekten, som du har oplevet med den skiftende tonehøjde af en sirene på en ambulance, når den kører forbi dig. Selvom lydbølger og lys er meget forskellige, virker Dopplerfænomenet i begge tilfælde: når kilden til bølgerne kommer i mod dig, bliver bølgen komprimeret, og bølgernes toppe og dale ankommer hurtigere efter hinanden. Så i det tilfælde, måler du en kortere bølgelængde og en højere frekvens en den ”sande” værdi. Ligeledes er det hvis kilden til lydbølgerne bevæger sig væk fra dig, så bliver bølgerne trukket ud, og bølgernes toppe og dale ankommer langsommere efter hinanden, end hvis kilden havde været stationær. Så for en kilde der bevæger sig væk fra dig, måler du en højere bølgelængde og lavere frekvens, end den sande værdi.

Da blåt lys har en kortere bølgelængde og højere frekvens end rødt lys, siges lyset fra et objekt der nærmer sig, at være ”blåforskudt”, og lyset fra objekter der fjerner sig, siges at være ”rødforskydt”. I astronomi, bruges denne terminologi selvom bølgerne ikke er i den synlige del af spektrummet – et skift mod højere bølgelængder kaldes rødforskydning, og et skift mod lavere bølgelængder kaldes blåforskydning, også selvom bølgerne er radiobølger eller røntgenbølger. Dopplereffekten forekommer også når det er dig (observatøren) der bevæger sig, i stedet for kilden – hvis de bevæger dig mod kilden, vil dens lys være blåforskudt, og hvis du bevæger dig væk fra kilden, vil dens lys være rødforskudt. Det eneste der har betydning, er den relative hastighed mellem dig og kilden.

3.3.2 – Dopplerligningen

Ligningen der relaterer den ”relative bølgelængde” (hvilket er den bølgelængde der måles af observatøren, λ_rel), i forhold til den ”sande bølgelængde (hvilket er den bølgelængde som objektet udsender, λ_sand), afhænger af to hastigheder: hastigheden af kilden i forhold til observatøren, og hastigheden af bølgen. For lys, er hastigheden af bølgen i det tomme rum altid c, og hvis den recessive hastighed (hvilket er hastigheden hvormed objektet bevæger sig væk fra observatøren) er v_rec, så kan Dopplerligningen skrives sådan:

$\frac{\lambda _{rel}}{\lambda _{sand}}=1+\frac{v_{rec}}{c}$

(3.10)

I denne ligning, kan λ_rel og λ_sand udtrykkes i en hvilken som helst længdeenhed (inklusiv meter, km, µm, eller nm), så længe begge disse bølgelængder har de samme enheder. Ligeledes, kan v_rec og c udtrykkes i en hvilken som helt hastighedsenhed (såsom meter per sekund, eller kilometer per time), så længe de begge har samme enheder. Da v_rec er recessionshastigheden, er dens værdi positiv hvis kilden og observatøren bevæger sig væk fra hinanden (recesserer), og negativ hvis de nærmer sig hinanden.

Selvfølgelig bevæger det meste i universet sig meget langsommere end lysets hastighed, så forholdet v_rec/c er næsten nul, hvilket gør, at den højre side af ligning 3.10, er meget tæt på 1. Og hvis den højre side er tæt på 1, så er _λrel næsten identisk med λ_sand, og du skal kunne foretage meget nøjagtige målinger (og have en masse decimaler med i dine beregninger), for at kunne se nogen forskel. Det kan du se i næste eksempel.

Eksempel 3.3.1: En stjerne bevæger sig væk fra Jorden med en hastighed på 300 km/s. Hvis den stjerne udsender lys ved en bølgelængde på 530 nm, hvad bølgelængde ville blive målt af en observatør på Jorden?

Siden du har fået oplyst λ_sand og recessionshastigheden (v_rec), og du forsøger at finde den tilsyneladende bølgelængde λ_rel, kan du indsætte dine værdier direkte ind i Dopplerligningen (ligning 3.10). Men som altid, er det en god ide at starte med at omarrangere ligningen, så du løser den i forhold til den mængde du forsøger at finde (λ_rel i dette tilfælde), inden du begynder at indsætte nogle værdier:

$\frac{\lambda _{rel}}{\lambda _{sand}}=1+\frac{v_{rec}}{c}$

$\lambda _{rel}=\lambda _{sand}\cdot \left ( 1+\frac{v_{rec}}{c} \right )$

$\lambda _{rel}=(530\; nm)\cdot \left ( 1+\frac{300\; km/s}{3\cdot 10^{5}\; km/s} \right )$

(bemærk at skal bruge de samme enheder for c og v_rec). Derfor giver det:

$\lambda _{rel}=(530\; nm)\cdot (1+0,001)=530,53\; nm$

en ændring på kun 0,53 nm, hvilket er 0,1% af den sande bølgelængde.

Kan en så lille forskydning virkelig blive målt? 530 nm er trodsalt i den grønne del af spektret, og det er 530,53 også. Så ”rødforskydningen” i dette tilfælde, ændrer ikke farven på lyset fra grønt til rødt. Heldigvis kender astronomerne de nøjagtige bølgelængder på mange spektrallinjer med stor nøjagtighed, og bitte små forskydninger i disse spektrallinjer, har været brugt til at måle Dopplerforskydninger fra objekter, som bevæger sig med hastigheder på mindre end 1 m/s relativt til Jorden.

3.3.3 – Alternative udgaver af Dopplerligningen

En anden anvendelig udgave af Dopplerforskydningsligningen, han fås ved følgende omarrangering af ligning 3.10:

$\frac{\lambda _{rel}}{\lambda _{sand}}=1+\frac{v_{rec}}{c},$

$\lambda _{rel}=\lambda _{sand}\cdot \left ( 1+\frac{v_{rec}}{c} \right )=\lambda _{sand}+\lambda _{sand}\cdot\left ( \frac{v_{rec}}{c} \right ),$

$\lambda _{rel}-\lambda _{sand}=\lambda _{sand}\cdot \left ( \frac{v_{rec}}{c} \right ),$

$\frac{\lambda _{rel}-\lambda _{sand}}{\lambda _{sand}}=\frac{v_{rec}}{c}$

Ved at betegne ændringen i bølgelængden (λ_rel – λ_sand) som Δλ, bliver dette til:

$\frac{\Delta \lambda}{\lambda _{rel}}=\frac{v_{rec}}{c}$

(3.11)

der fortæller dig at den brøkdel bølgelængden ændrer sig, er lig med brøkdelen mellem lysets hastighed og hastigheden som objektet recesserer med. Med værdierne fra forrige eksempel, er her hvordan det virker:

$\frac{\Delta \lambda}{\lambda _{rel}}=\frac{v_{rec}}{c}$

$\frac{\Delta \lambda}{\lambda _{rel}}=\frac{300\; km/s}{3\cdot 10^{5}\; km/s}$

$\Delta \lambda=530\; nm\left ( \frac{300\; km/s}{3\cdot 10^{5}\; km/s} \right )$

$\Delta \lambda=0,53\; nm$

Både ligning 3.10 og 3.11, kan bruges når bølgekilden og observatøren nærmer sig hinanden i stedet for at fjerne sig fra hinanden, så længe du husker at recessionshastigheden (v_rec) er negativ når objekter nærmer sig hinanden. Så hvis stjernen fra tidligere eksempel havde nærmet sig Jorden, ville du ganske enkelt blot have sat v_rec til -300 km/s i ligning 3.10 og 3.11. I det tilfælde, ville λ_rel blive kortere end λ_sand, og Dl ville blive negativ.

I dine astronomistudier, kan du også støde på en udgave af Dopplerforskydningsligningen, der involverer frekvenser i stedet for bølgelængder. Du kan nemt konvertere fra bølgelængder (λ) til frekvens (ƒ) og omvendt, ved at gøre brug af ligning 3.1 på de modtagne og sande værdier af bølgelængderne og frekvenserne:

$\lambda _{rel}\cdot f_{rel}=c$

eller

$\lambda _{sand}\cdot f_{sand}=c$

og så erstatte λ_rel = c/ƒ_rel og λ_sand = c/ƒ_sand i Dopplerligningen:

$\frac{f_{sand}}{f_{rel}}=1+\frac{v_{rec}}{c}$

(3.12)

Bemærk, at siden frekvens og bølgelængde er omvendt proportionale, har de sande og relative værdier byttet plads mellem ligning 3.10 og 3.12.

Du kan også finde en ligning for den delvise ændring af frekvensen, på denne måde:

$\frac{f_{sand}}{f_{rel}}=1+\frac{v_{rec}}{c}$

$f_{sand}=f_{rel}\cdot \left ( 1+\frac{v_{rec}}{c} \right )=f_{rel}+f_{rel}\cdot \left ( \frac{v_{rec}}{c} \right )$

$f_{sand}-f_{rel}=f_{rel}\cdot \left ( \frac{v_{rec}}{c} \right )$

$\frac{f_{sand}-f_{rel}}{f_{rel}}=\frac{v_{rec}}{c}$

Hvis ændringen i frekvensen (ƒ_rel – ƒ_sand) betegnes som Δƒ, så er (ƒ_sand – ƒ_rel) -Δƒ, og ligningen bliver til:

$\frac{-\Delta f}{f_{rel}}=\frac{v_{rec}}{c}$

eller

$\frac{\Delta f}{f_{rel}}=\frac{v_{rec}}{c}$

(3.13)

Vær sikker på, at du bemærker forskellene mellem ligning 3.12 og 3.13. Den første er, at frekvensversionen har den tilsyneladende frekvens (ƒ_rel) i nævneren, mens bølgelængdeversionen har den sande bølgelængde (λ_sand) i nævneren. Den anden forskel er, at frekvensversionen har et minustegn foran v_rec, da den tilsyneladende frekvens (ƒ_rel) er mindre end den sande frekvens (ƒ_sand), hvis recessionshastigheden er positiv (hvilket betyder at objekterne fjerner sig fra hinanden).

I næste afsnit, kan du se hvordan Dopplereffekten bruges, i et af de mest aktive forskningsområder i den moderne astronomi – søgen efter ekstrasolare planeter.