2.3 – Keplers love – astronomi.androide.dk

Som med Newtons love for bevægelse, kan de grundlæggende begreber i Keplers love for planetære bevægelser, forstås med et minimum af matematik. Men, hvis du vil bruge Keplers love til opgaver i kredsløbsdynamik, skal du være sikker på, du forstår den underliggende matematik, bag disse love. Målet for dette afsnit er, at hjælpe dig med at opnå denne forståelse.

Keplers love for planetære bevægelser, er generelt udtrykt i udsagn som disse:

Keplers første lov – Formen af en planets kredsløb, er en ellipse med Solen i det ene brændpunkt, så afstanden mellem en planet og Solen, er generelt ikke konstant.

Keplers anden lov – En imaginær linje mellem en planet og Solen, overstryger lige store arealer på samme tidsrum, så en planet bevæger sig hurtigere, når den er i den del af dens kredsløb, der er tættere på Solen.

Keplers tredje lov – Kvadratet af en planets kredsløbsperiode, er proportional med kubikroden af den halve storakse i planetens kredsløb, så planeter langt fra Solen, er længere tid om at fuldføre et kredsløb, end planeter tættere på Solen er det.

De fleste introduktionsopgaver i astronomi som involverer Keplers love, er baseret på Keplers tredje lov, men du kan også støde på opgaver der involverer Keplers første lov. Hvis du gør, er det sandsynligt, at disse opgaver involverer aphelium, perihelium, halve storakse og excentricitet af et kredsløb. For at arbejde med denne slags problemer, skal du begynde med at være sikker på, at du forstår betydningen af de begreber og deres relation til hinanden. De to næste afsnit, vil hjælpe dig med den forståelse.

2.3.1 – Ellipseparametre

De fleste af de basale parametre i en ellipse, er vist i figur 4.2. Husk at en ellipse er defineret ud fra to punkter, kaldet ellipsens ”brændpunkter”. Fra alle steder på en ellipse, har den samlede afstand til de to brændpunkter, den samme værdi. Det er derfor du kan tegne en ellipse ved at indsætte en tegnestift i de to brændpunkter, løst sætte en snor imellem dem, og derefter strække snoren stramt med din blyant, og bevæge den hele vejen rundt om dine to brændpunkter.

Figur 2.4 – Ellipsens parametre der er relevante for Keplers første lov.

Figur 2.5 – Ellipser med forskellig excentricitet.

Så længe du ikke placerer dine brændpunkter oven på hinanden, vil du have en lang akse (storaksen), og en kortere akse (lilleaksen), med en længde på snoren, der er lig med storaksen. Som du kan se i figur 2.4, kaldes halvdelen af storaksen for halve storakse, og er sædvanligvis betegnet ”a”, men det halve af lille aksen, kaldes for halve lilleakse, og sædvanligvis betegnet ”b”. Afstanden fra centrum af ellipsen (markeret med et ”x”) til hvert brændpunkt, kaldes undertiden ”f”, så afstanden mellem de to brændpunkter, er 2f.

Forskelligt fra cirkler, der kan have forskellige størrelser, men alle har den samme form, kan ellipser have forskellige størrelser såvel som forskellige former. For at se dette, kig på de fire ellipser i figur 2.5. Hvad af disse ellipser har den samme længde halve storakse, men deres form er tydeligt ikke den samme. Hvis du tænker at formen på den øverste ellipse til venstre i figur 2.5 ikke er en ellipse, så tænk på, at en cirkel bare en helt speciel form for ellipse, meget på samme måde, som et kvadrat blot er et helt særligt tilfælde af en rektangel.

Hvad der er forskelligt for disse ellipser, er deres fladhed, hvilket kaldes ellipsens ”excentricitet”. Excentriciteten (e), er defineret som:

$e=\sqrt{1-\frac{a^{2}}{b^{2}}}=\frac{f}{a}$

(2.5)

hvor a er den halve storakse, b er den halve lilleakse, og f er afstanden fra centrum, til et af ellipsens brændpunkter. I denne ligning, skal a, b, og f alle have de samme enheder.

Som du kan se fra denne ligning, har en cirkel (for hvilken a = b), en excentricitet (e) på nul. For en meget fladtrykt ellipse (a skal være større end b), nærmer excentriciteten sig en. Brændpunkterne, centrum, værdien af excentriciteten, den halve storakse, og den halve lilleakse, er vist for hver ellipse i figur 2.5, så du kan verificerer værdierne af excentriciteten, ved at bruge en lineal og ligning 2.5, hvis du er interesseret.

2.3.2 – Elliptiske kredsløbsparametre

Figur 2.6 – Parametrene for et elliptisk kredsløb.

I astronomi, kan ellipsens karakteristika bruges, til at analysere de baner som planeter følger omkring Solen. Når du arbejder med den type opgaver, kan du støde på de begreber, der er vist i figur 2.6. Som du kan se, er solen i det ene brændpunkt af ellipsen, og der er ikke noget i det andet brændpunkt, og planeten kredser omkring i ellipsen, på sin vej rundt om Solen. Dette er dog kun en tilnærmelse fordi, stjernen og planeten faktisk kredser omkring deres fælles massecentrum, der ligger i brændpunktet (som beskrevet i afsnit 3.4). Men fordi en planets masse ofte er ubetydelig i forhold til massen på stjernen, og som svar på tyngdekraftens lige påvirkning af begge objekter, vil stjernens acceleration (og dermed dens kredsløb) ganske lille, i forhold til planetens meget store acceleration (og meget større kredsløb), så det er en ret god tilnærmelse at behandle stjernen som fikseret, men planeten kredsende omkring den.

Punktet i en planets kredsløb der er tættest på Solen, kaldes perihelium, og punktet længst fra Solen kaldes aphelium. På figuren kan du se, at hvis afstanden fra perihelium til Solen er dist_peri_,og afstanden fra aphelium til solen er dist_ap, så må det være sandt at:

$dist_{peri}+disp_{ap}=2a$

(2.6)

hvor 2a er storaksen for kredsløbet. Hvis man løser denne ligning i forhold til a, bliver det klart at:

$a=\frac{dist_{peri}+dist{ap}}{2}$

(2.7)

hvilket betyder, at den halve storakse er lig med gennemsnittet af perihelium- og apheliumafstandene.

Et nærmere kig på figur 2.6, afslører også følgende relationer:

$dist_{ap}=a+f$

$dist_{peri}=a-f$

(2.8)

Du kan finde andre brugbare relationer mellem kredsløbsparametre ved at bemærke, at siden e = f/a (ligning 2.5), så er f = a · e, og dermed bliver ligning 2.8 til:

$dist_{ap}=a+f=a+a\cdot e=a(1+e)$

$dist_{peri}=a-f=a-a\cdot e=a(1-e)$

(2.9)

hvilket kan være meget hjælpsomt, når du forsøger at finde aphelium- og periheliumafstandende, når du kender den halve storakse (a) og excentriciteten (e).

Og her er et trick du måske finder brugbart, når du får oplyst to simultanligninger (det vil sige to ligninger som indeholder de samme variabler) samtidigt, som for eksempel i ligning 2.8, og du ønsker at isolere en af variablerne (som for eksempel a eller e): prøv at lægge ligningerne sammen, eller trække dem fra hinanden. Her er hvad der sker, når du lægger de to ligninger i 2.8 sammen:

$dist_{ap}=a+f\\+dist_{peri}=a-f\\------------\\dist_{ap}+dist{peri}=2a+0$

hvilket verificerer ligning 2.6. An anden brugbar relation kan findes, ved at trække de to ligninger i 2.8 fra hinanden, og huske fra ligning 2.5, at f = a · e:

$dist_{ap}=a+f\\+dist_{peri}=a-f\\--------------\\dist_{ap}+dist{peri}=0+2f=2ae$

Ved at dividere begge sider med 2ae, får man et udtryk for excentriciteten (e) i begreberne for aphelium- og periheliumafstandende:

$\frac{dist_{ap}-dist{peri}}{2ae}=\frac{2ae}{2a}=e$

(2.10)

og siden 2a = dist_ap + dist_peri (den lange akse i en ellipse):

$e=\frac{dist_{ap}-dist_{peri}}{2a}=\frac{dist_{ap}-disp_{peri}}{dist_{ap}+dist{peri}}$

(2.11)

Da der er så mange brugbare måder at relaterer kredsløbsparametre på, har vi samlet dem vi synes er de mest brugbare i tabel 2.1.

Tabel 2.1 – Relationer for kredsløbsparametre

For at finde	Hvis du kender	Brug
$dist_{ap}$	$a\; og\; e$	$dist_{ap}=a(1+e)$
$dist_{peri}$	$a\; og\; e$	$dist_{peri}=a(1-e)$
$a$	$dist_{ap}\; og\; dist_{peri}$	$2a=dist_{ap}+dist_{peri}$
$e$	$dist_{ap}\; og\; dist_{peri}$	$e=\frac{dist_{ap}-dist_{peri}}{dist_{ap}+dist_{peri}}$
$f$	$a\; og\; e$	$f=a\cdot e$
$f$	$a\; og\; b$	$f=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$
$f$	$dist_{ap}\; og\; dist_{peri}$	$2f=dist_{ap}-dist_{peri}$
$e$	$a\; og\; b$	$e=\sqrt{a-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$
$e$	$a\; og\; f$	$e=\frac{f}{a}$
$b$	$e\; og\; f$	$b=a\sqrt{1-e^{2}}$
$a$	$e\; og\; b$	$a=\frac{b}{\sqrt{1-e^{2}}}$

Alle disse relationer, kommer direkte fra Keplers første lov, som siger at planetære kredsløb, er ellipser, og ligningerne 2.5 og 2.6, der definerer parametrene for disse ellipser.

2.3.3 – Brug af Keplers tredje lov

Langt størstedelen af opgaver i læren om Keplers love, er baseret på Keplers tredje lov, der relaterer en planets kredsløbsperiode (P), med den halve storakse (a) for planetens kredsløb. Keplers tredje lov skrives ofte sådan:

$P^{2}=a^{3}$

(2.12)

men her, foretrækker vi at skrive den som:

$[P_{(i\; aar)}]^{2}=[a_{(i\; AU)}]^{3}$

(2.13)

fordi, denne form eksplicit minder dig om, at denne ligning kun virker hvis du udtrykker perioden (P) i enheden Jordår (år) og den halve storakse (a) i astronomiske enheder
(AU, hvor 1 AU = 149,6 x 10⁶ km). DU bør også notere dig, at Keplers tredje lov kun virker for objekter, der kredser om Solen.

For at illustrere vigtigheden af, at bruge de korrekte enheder når du anvender Keplers tredje lov, så prøv at se her, hvad der ville ske hvis vi prøvede at indsætte Jordens kredsløbsperiode som 365 dage, og den halve storakse for Jordens kredsløb som 150 millioner kilometer, i ligning 2.12:

$365^{2}=(150\cdot 10^{6})^{3}\; \; \; \; \; {\color{Red} (FORKERTE\; ENHEDER)}$

hvilket tydeligt ikke er rigtigt. Men hvis du konverterer 356 dage til 1 år og 150 millioner kilometer til 1 AU, og indsætter disse tal i ligning 2.12, får du:

$1^{2}=1^{3}\; \; \; \; \; \; {\color{Red} (FORKERTE\; ENHEDER)}$

hvilket ikke ser nær så imponerende ud, som med de store tal i den ukorrekte version, men denne ligning har den klare fordel, at den er sand. Så husk, du kan kun anvende P² = a³ når tre betingelser er opfyldt: (1) Det er Solen (eller et andet objekt med samme masse som Solen), der kredses om, (2) enheden for P er Jordår, og (3) enheden for a er AU.

Hvis du spekulerer over, hvordan enhederne i Keplers tredje lov fungerer, siden du har P² i enheden år i anden potens og a³ i enheden AU i tredje potens, og svaret er, at der faktisk er en skjult konstant i denne ligning. Med denne konstant vist eksplicit, ville denne ligning se således ud:

$P^{2}=\left ( 1\frac{aar^{1}}{AU^{3}} \right )\cdot a^{3}$

(2.14)

Bemærk, at ud over den mærkelige kombination af enheder, har konstanten en numerisk værdi på 1, hvilket er hvorfor den normalt ikke skrives. At gange a³ med denne konstant, ændrer ikke på det numeriske resultat, men den afbalancerer enhederne mellem højre og venstre side af ligningen.

Her er et eksempel på, hvordan man kan bruge Keplers tredje lov, til at løse en kredsløbsopgave der involverer planeten Mars.

Eksempel 2.3.1: Mars kredser om Solen en gang, hvert 687 Jorddage. Hvad er den halve storakse af Mars’ kredsløb?

Da du forsøger at finde den halve storakse a og du får oplyst perioden P, og da Mars kredser om Solen, kan denne opgave løses ved at bruge Keplers tredje lov i formen:

$[P_{(i\; aar)}]^{2}=[a_{(i\; AU)}]^{3}$

(2.13)

Men før du kan indsætte denne værdi i stedet for P og løse ligningen med hensyn til a, skal du først konvertere 687 Jorddage til den krævede enhed Jordår. Det er ligetil:

$P=687\; dage=687\; {\color{Red} dage}\cdot\frac{1\; aar}{365\; {\color{Red} dage}}=1,88\; aar$

Med P i den krævede enhed af Jordår, kan du nu bruge Keplers tredje lov, til at løse ligningen i forhold til den halve storakse for Mars’ kredsløb:

$[P_{(i\; aar)}]^{2}=[a_{(i\; AU)}]^{3}$

$a_{(i\; AU)}=\sqrt[3]{P_{(i\; aar)}^{2}}=([P]_{(i\; aar)}^{2})^{\frac{1}{3}}$

$=(1,88^{2})^{\frac{1}{3}}=3,53^{\left ( \frac{1}{3} \right )}=1,52$

hvilket betyder, at Mars kredser om Solen i en afstand af 1,52 AU, eller omkring 50% længere væk, end Jorden gør. Bemærk, at når du indsætter værdierne i ligningen for at foretage beregningen ved brug af Keplers tredje lov, er det ikke en hjælp at inkludere enhederne. Det er fordi denne lov, hvis den er skrevet som ligning 2.13, eksplicit viser enhederne for hver mængde, så du ved hvad disse enheder er. Ydermere, hvis du inkluderer enhederne, er det også nødvendigt at inkludere den uskrevne konstant (1 (år²/AU³)), for at enhederne kommer til at virke korrekt. Så dette er en af de meget få tilfælde, hvor det ikke er en hjælp, at bære enhederne med gennem alle trin i beregningen.

Da versionen af Keplers tredje lov kun involverer P og a, og kun virker eksklusivt for objekter der kredser omkring Solen, er det meget sandsynligt, at du vil støde på en mere universel udgave af Keplers tredje lov. Denne version, som blev udledt af Isaac Newton, inkluderer et masse-begreb i nævneren:

$P^{2}=\frac{a^{3}}{M}$

(2.15)

eller som vi foretrækker at skrive den, for at gøre de krævede enheder eksplicitte:

$[P_{(i\; aar)}]^{2}=\frac{[a_{(i\; AU)}]^{3}}{M_{i\; solmasser}}$

(2.16)

hvor, som i ligningerne 2.12 og 2.13, P repræsenterer kredsløbsperioden og a repræsenterer den halve storakse for kredsløbet. Men denne version af Keplers tredje lov, indeholder også et andet begreb: M der repræsenterer massen af det objekt som der kredses om. Dette er en tilnærmelse, fordi M faktisk er summen af masserne af de kredsende objekt og objektet der kredses om. Men når det ene objekt imidlertid er så meget mere massiv end det andet, som for eksempel en stjerne og en planet, er planetens masse ubetydelig, så det er en meget god tilnærmelse, at bruge stjernens masse som M. Hvis masserne af de to objekter er tæt på at være den samme, så de kan være i et binært stjernesystem, er denne tilnærmelse forkert. Vær opmærksom på at M udtrykkes i Solmasser (antal gange Solens masse), hvor 1 Solmasse = 2 x 10³⁰ kg. Solenhederne er nærmere beskrevet i afsnit 5.4.1.

Hvis man sammenligner ligning 2.12 med ligning 2.15, kan det være svært at se, at disse to ligninger begge kan være korrekte. Ligning 2.15, indeholder trods alt et begreb (M), der repræsenterer den gigantiske masse af Solen og en planet, og dette begreb findes ikke i ligning 2.12.

Nøglen til at forstå denne tydelige todeling er, at se på enhederne i dette begreb, der vises eksplicit som ”Solmasser” i ligning 2.16. Siden Solen har en masse (per definition) på 1 Solmasse, så vil du, så længe du betragter en planet der kredser om Solen, få det samme resultat med begge udgaver af Keplers tredje lov (ligning 2.12 og 2.15), fordi division med 1, ikke ændrer resultatet.

Men det er meget vigtigt, at du husker på, at hvis du arbejder med opgaver der omhandler en planet der kredser om en anden stjerne end Solen, eller en måne der kredser omkring en planet, eller en satellit der kredser omkring Jorden, så skal du bruge den version af Keplers tredje lov, som indeholder massen i nævneren (ligningerne 2.15 eller 2.16). Her er et eksempel på en sådan opgave:

Eksempel 2.3.2: hvad er kredsløbsperioden for en telekommunikationssatellit i et cirkulært kredsløb, som kredser med en afstand på 42.164 km fra Jordens centrum?

I denne opgave, får du oplyst radius af kredsløbet, hvilket er det samme som den halve storakse a for et cirkulært kredsløb. Objektet der kredses om, er ikke Solen, så du kan ikke bruge ligning 2.12; du skal bruge Newtons tilpassede version af Keplers tredje lov (ligning 2.15 eller 2.16). Begynd med at skrive:

$[P_{(i\; aar)}]^{2}=\frac{[a_{(i\; AU)}]^{3}}{M_{i\; solmasser}}$

(2.16)

Men før du kan begynde at indsætte værdierne ind i denne ligning, skal du først konverterer enhederne for de mængder du har fået oplyst. For den halve storakse (a) for kredsløbet, har du fået oplyst værdien 42.164 km, men ligning 2.16 kræver, at enheden for a er AU, så det er nødvendigt med en enhedskonvertering:

$a=42.164\; km=42.164\; km\cdot\frac{1\; AU}{149,6\cdot 10^{6}\; km}=2,818\cdot 10^{-4}\; km$

Se så på massebegrebet (M) i ligning 2.15. Den repræsenterer den samlede masse af satellitten og Jorden, og du har ikke fået oplyst massen af satellitten. Men selv de tungeste satellitter, er milliarder af gange lettere end Jorden, så den samlede masse af Jorden og satellitten, er praktisk talt identisk med Jordens masse, der er omkring 6 x 10²⁴ kg. Konvertering af denne værdi, til en værdi der giver M i Solmasser, gøres sådan:

$M=6\cdot 10^{24}\; kg=6\cdot 10^{24}\; kg\cdot \frac{1\; solmasse}{2\cdot 10^{30}\; kg}=3\cdot 10^{-6}\; solmasser$

Med M og a i de korrekte enheder, er du nu klar til at indsætte værdierne i ligning 2.15 (og igen udelade enhederne som tidligere beskrevet):

$[P_{(aar)}]^{2}=\frac{(2,818\cdot 10^{-4})^{3}}{3\cdot 10^{6}}=7,459\cdot 10^{-6}$

$p_{aar}=\sqrt{7,459\cdot 10^{-6}}=2,73\cdot 10^{-3}$

En enhedskonvertering afslører, at 2,73 x 10^-3 år. Er lig med 23 timer og 56 minutter, hvilket er den samme tid som det tager Jorden at roterer en gang omkring sin egen akse. Så satellitter placeret i et cirkulært kredsløb over Jordens ækvator, i en afstand på 42.164 km fra Jordens centrum, er ”geostationære”, hvilket betyder, at de kredser med samme hastighed, som Jorden roterer, og dermed forbliver over samme sted på Jordens overflade.

Der findes en version mere af Keplers tredje lov, som du kan støde på. Denne version ser således ud:

$P^{2}=\frac{4\pi ^{2}\cdot a^{3}}{G\cdot M}$

(2.17)

Denne udgave af Keplers tredje lov anvender standardenheder (SI): sekunder for P, meter for a, og kilogram for M, og G er den universelle tyngdekonstant beskrevet i afsnit 2.1.1.