2.1 – Newtons gravitationslov (tyngdelov)

Ligningen for Newtons gravitationslov, kan se lidt skræmmende ud første gang man ser den, men som med det fleste ligninger, bliver den mindre frygtindgydende, når du skiller den ad og undersøger hvert enkelt begreb. For at hjælpe i denne proces, vil vi skrive ”udvidede” versioner af nogle af de vigtige ligninger i denne bog, hvor du kan se et eksempel af en sådan vigtig ligning i figur 2.1.Som du kan se, er betydningen og enhederne for hvert begreb i en udvidet ligning, klart angivet med tekst, og har en pil der peger på det relevante begreb. Efter figuren, vil du finde yderligere forklaringer på begreberne, samt eksempler på hvordan du bruger ligningen, både efter den absolutte metode og forholdsmetoden.

Figur 2.1 – Newtons universelle tyngdelov.

2.1.1 – Beskrivelse af begreberne i tyngdelovsligningen

Figur 2.2 – To masser, trækker i hinanden.

Hver gang du støder på en ligning, som den i figur 2.1, er det en god ide, at være sikker på du forstår ikke kun betydningen (og enhederne) af hvert begreb, men også hvad deres placering og deres størrelsesordener fortæller dig.

Styrken af tyngdekraften, F_g, er på den venstre side af denne ligning, med enheden newton (N). Kraften forekommer mellem to objekter, som for eksempel dem der er vist i figur 2.2; hvert objekt frembringer tyngdekraften F_g på hinanden. Her følger en detaljeret beskrivelse af hvert af de begreber der indgår i tyngdelovsligningen på højre side.

G – Det første begreb er G, den universelle tyngdekonstant. Efter den bedste viden vi har i dag, har denne konstant den samme værdi, igennem hele det kendte univers, og den værdi i SI enheder er 6,67 x 10^-11 N·m²/kg².

m₁, m₂ – Variablerne i tælleren i brøken, m₁ og m₂, repræsenterer mængden af masse (i enheden kg), der er tilstede i hvert af de to objekter, for hvilke tyngdekraften beregnes. De fleste astronomibøger bruger et lille ”m” som vi også har gjort her, som en variabel (en pladsholder for en uspecificeret mængde) der repræsenterer masse. Vær opmærksom på, at dette kan skabe forvirring i forhold til forkortelsen for længdeenheden meter, der også forkortes med et lille ”m”. Vær opmærksom på, at du aldrig forveksler de to. Nogle tekster, såsom denne, skriver variable i kursiv, men aldrig enheder – så ”m” repræsenterer en variabel for masse, og ”m” er en forkortelse for længdeenheden meter – men det er ikke en standard i alle tekster, så det kan være du er nødt til nærmere at undersøge teksten, for at fastslå om den aktuelle bog, bruger denne skelnen mellem variable og enheder, eller ej. Hvis der tilmed er et nedsænket tal efter m, indikerer det stærkt at m repræsenterer en variabel for mængden af masse, ikke enheden meter – men igen, det er ikke en standard der anvendes i alle bøger. Du bliver nogle gange nødt til at vurdere, hvilken betydning ”m” har, under forskellige omstændigheder.

Det er vigtigt at bemærke, at massen af et objekt er et mål for den samlede mængde af materiale som udgør objektet, og er ikke det samme som objektets vægt. Som du vil se i det første eksempel senere, er vægten af et objekt, ganske simpelt den kraft som tyngdekraften udøver på et objekt (normalt udtrykt som kilogram i hverdagen og ikke newton), og den kraft afhænger af, hvor nøjagtigt objektet er placeret. Så, din vægt på Jorden er større, end din vægt på Månen, fordi Månen danner en mindre tyngdekraft ved dens overflade. Men din masse er den samme, uanset hvor du er.

R – Denne variabel er ret kendt for de fleste elever, hvis man antager at R i nævneren i tyngdelovsligningen betyder ”radiussen” af et objekt, men her, repræsenterer den faktisk afstanden (i enheden meter), mellem centrum af masse 1 og centrum af masse 2. Der selvfølgelig nogle tilfælde, hvor afstanden R er cirka lig med radiussen af en kugle (såsom en planet), men du bør ikke forfalde til den tankegang, at R altid betyder radius.

Når først du er blevet bekendt med betydningen og enhederne for hvert begreb, er det tid til at tage et skridt tilbage, og betragte placeringen og størrelsesordenen af disse begreber og deres betydning, samt hvad de fortæller dig om tyngdekraftens styrke. Det faktum, at begge masser befinder sig i tælleren på den højre side af ligningen, fortæller dig, at tyngdekraften er direkte proportional, med hver masse. Så, hvis du fordobler masserne og beholder alle andre variable uforandrede, vil tyngdekraften mellem masserne også fordobles. Bemærk, at det ikke har nogen betydning hvilken masse du kalder for m₁ eller m₂; Da multiplikation er kommutativ, der rækkefølgen af dem ligegyldig, og siden du kun beregner en kraft F_g mellem de to masser, er tyngdekraften for m₁ og m₂ nøjagtig den samme, som tyngdekraften mellem m₂ og m₁. Dette er et eksempel på Newtons tredje lov (som du kan læse mere om senere i kapitlet), og den betyder, at du netop nu, trækker i Jorden med samme kraft, som Jorden trækker i dig med.

Lad os nu kigge på placeringen og størrelsesordenen af R begrebet i tyngdelovsligningen. Siden afstanden mellem objekterne forekommer i nævneren, betyder det, at kvadratroden af kraften og afstanden er omvendt proportional, så en større afstand resulterer i en svagere tyngdekraft (præcis som du ville forvente, fordi almindelig sund fornuft fortæller dig, at nære objekter udøver en større tyngdekraft på hinanden, end objekter der er længere fra hinanden gør). Siden R er i anden potens, betyder det, at tyngdekraftens påvirkning falder hurtigt med afstanden. Så hvis du fordobler afstanden og bibeholder alle andre variabler uforandrede, forårsager det ikke et fald i tyngdekraften med halvdelen af den oprindelige værdi (som det ville være tilfældet hvis afstanden var i 1. størrelsesorden i nævneren). I stedet forårsager en fordobling af afstanden, et fald i tyngdekraften til en fjerdedel af den oprindelige værdi (fordi 1/2² = 1/4). Dette kaldes for ”den omvendte kvadratlov” der relaterer kraft og afstand – omvendt, fordi funktionen er omvendt proportional, og kvadrat fordi begrebet R er opløftet til 2. størrelsesorden.

Med en forståelse for meningen med tyngdelovsligningen, er du klar til at bruge denne ligning til at løse astronomiopgaver. Som beskrevet i afsnit 1.2, er der to måder at anvende en sådan ligning til at løse opgaver med. Den absolutte metode, kan bruges til at finde værdien af tyngdekraften (i newton), ved at undsætte værdier ind i tyngdelovsligningen. Forholdsmetoden er brugbar, hvis du ønsker at sammenligne tyngdekraften mellem to objekter, under to forskellige forhold. Du kan se eksempler på brugen af denne tilgangsvinkel, lidt senere i dette kapitel.

2.1.2 – Beregning af tyngdekraften

Ved brug af den absolutte metode, indsætter du værdierne af alle variablerne (i dette tilfælde masserne m₁ og m₂ i kilogram, af afstanden i meter) og konstanter (her kun G) med de korrekte enheder. Hvis du får oplyst værdierne af alle variablerne i andre enheder, er du nødt til at konvertere dem til de korrekte enheder. Så kan du udføre de nødvendige matematiske operationer, for at få det ”absolutte” resultat – det betyder et svar, der repræsenterer en værdi med de korrekte enheder, i stedet for et relativt resultat. Dette er den fremgangsmåde du skal bruge, hvis du forsøger at finde tyngdekraften mellem to objekter af kendt masse og ved en kendt afstand mellem objekterne. Her er et eksempel:

Eksempel 2.1.1: Beregn tyngdekraften mellem Solen og planeten Uranus

En god måde at starte på en hvilken som helst opgave, er at nedskrive nøjagtigt hvad du har fået oplyst, hvad du forsøger at finde, og hvilken relation der binder det du har fået oplyst, sammen med det du prøver at finde.

I dette tilfælde, er du blevet oplyst navnet på to objekter (Solen og Uranus), og du bliver bedt om at finde tyngdekraften mellem dem. Du ved, at Newtons tyngdelov kan bruges til af finde tyngdekraften mellem to vilkårlige objekter, så længe du kender massen af de to objekter, og afstanden mellem dem. Selvom opgaven ikke giver dig massen af hverken Solen eller Uranus, eller afstanden mellem dem, kan du finde denne information i de fleste astronomitekster, eller online ved en søgning.

Ved at bruge disse ressourcer, skulle du kunne finde ud af, at massen af Solen er omkring 2 x 10³⁰ kg, massen af planeten Uranus er omkring 8,7 x 10²⁵ kg, og at Uranus’ afstand fra Solen, varierer fra omkring 2,74 x 10⁹ km til 3,01 x 10⁹ km. Da opgaven ikke specificerer i hvilket punkt af Uranus’ kredsløb omkring Solen du skal finde tyngdekraften for, kan du frit benytte en af disse værdier, eller en hvilken som helst værdi derimellem. Hvis du tager gennemsnitsafstanden (2,87 x 10² km) som din værdi, har du nu alle mængderne du behøver, for at beregne tyngdekraften mellem Solen og Uranus. Men inden du kan begynde at indsætte værdierne i Newtons tyngdelov, er det vigtigt, at du husker at konvertere afstanden til den korrekte enhed, meter:

$R=2,87\cdot 10^{9}\; km\cdot \left ( \frac{1.000\; m}{1\; km} \right )=2,87\cdot 10^{12\; m}$

Nu kan du indsætte værdierne af masserne og afstanden i ligningen:

$F_{g}=G\cdot \frac{m_{1}\cdot m_{2}}{R^{2}}$

(2.1)

$=\left ( 6,67\cdot 10^{-11}\frac{N\cdot m^{2}}{kg^{2}} \right )\cdot \left [ \frac{(2\cdot 10^{30}\; kg)\cdot(8,7\cdot 10^{25}\; kg)}{(2,87\cdot 10^{12}\; m)^{2}} \right ]$

$=\left ( 6,67\cdot 10^{-11}\frac{N\cdot {\color{Red} m^{2}}}{{\color{Red} kg^{2}}} \right )\cdot\left ( 2,11\cdot 10^{31}\frac{{\color{Red} kg^{2}}}{{\color{Red} m^{2}}} \right )=1,4\cdot 10^{21}\; N$

2.1.3 – Overfladetyngdekraft

Figur 2.3 – Radiussen for en planet, og centrum-til-centrum afstanden.

En meget almindelig (og praktisk) type af tyngdekraftsopgaver i astronomi, er at fastslå tyngdekraften mellem et himmellegeme (så som en måne, planet, eller stjerne), og et objekt på overfladen af det himmellegeme. Ifølge Newtons lov om tyngdekraft, afhænger den kraft af massen på himmellegemet, og massen af objektet på overfladen, samt afstanden fra himmellegemets centrum til objektets centrum.

For at forstå den relevante afstand, se på eksemplet med en person der står på overfladen af en planet, som vist i figur 2.3. Som denne figur viser, kan afstanden fra planetens centrum til personens centrum, meget godt estimeres som radiussen af planeten (da en planets radius typisk er flere tusinde kilometer og en persons højde er 2 meter elle mindre). Så i dette tilfælde, er begrebet ”R” i nævneren på Newtons tyngdelov, estimeret til at være den samme som radiussen af planeten.

Det betyder, at hvis du (med din masse m_dig), står på overfladen af en planet (med massen m_planet), er tyngdekraftens påvirkning mellem dig og planeten:

$F_{g}=G\cdot \frac{m_{dig}\cdot m_{planet}}{R_{planet}^{2}}$

Her er et eksempel:

Eksempel 2.1.2: Find tyngdekraftens påvirkning fra Jorden, på en person med en masse på 100 kg, som står på overfladen af Jorden

I dette tilfælde, er den eneste værdi du får oplyst, personens masse (100 kg), som du kan kalde m₁. Men dur får også fortalt, at personen står på overfladen af Jorden, hvilket betyder, at du kan slå massen af det andet objekt (Jorden) op, som du kan kalde m₂, og afstanden mellem personen og Jordens centrum (R), hvilket essentielt er Jordens radius. På internettet kan du nemt finde Jordens masse til at være omkring 6 x 10²⁴ kg og radiussen af Jorden til at være omkring 6.378 km. Så nu har du værdierne af de to masser (personen og Jorden), såvel som afstanden mellem deres centrums.

Det står klart, at relationen mellem to masser, deres afstand mellem deres centrums, og kraften af tyngdekraften mellem dem, leveres af Newtons tyngdelov. Så du kan løse denne opgave, ved at anvende tyngdelovsligningen, men du skal sikre dig, at alle enhederne for variablerne, er i de enheder som det kræves for at anvende denne ligning. Du har massen af personen og af Jorden angivet i kg, som krævet, men afstanden er fundet i kilometer i stedet for meter. Dette er en nem konvertering (se afsnit 1.1, hvis du har brug for hjælp med enhedskonverteringer); gang 6.378 km med konverteringsfaktoren 1.000 meter per kilometer, for at få værdien af R i meter: 6.378.000 m, eller 6,378 x 10⁶ m (se afsnit 1.4, hvis du har brug for hjælp til videnskabelig notation).

Når du indsætter disse værdier i tyngdelovsligningen sammen med G, får du:

$F_{g}=G\cdot \frac{m_{1}\cdot m_{2}}{R^{2}}$

$=\left ( 6,67\cdot 10^{-11}\frac{N\cdot m^{2}}{kg^{2}} \right )\cdot \left [ \frac{(100\; kg)\cdot(6\cdot 10^{24}\; kg)}{(6,378\cdot 10^{6}\; m)^{2}} \right ]$

$=\left ( 6,67\cdot 10^{-11}\frac{N\cdot {\color{Red} m^{2}}}{{\color{Red} kg^{2}}} \right )\cdot\left ( 1,475\cdot 10^{13}\frac{{\color{Red} kg^{2}}}{{\color{Red} m^{2}}} \right )=983,8$

hvilket er tyngdekraftspåvirkningen mellem Jorden og en person på 100 kg, der står på Jordens overflade. For at sætte dette i relation til mere kendte termer, kan du konvertere dette resultat fra newton til kg, ved at bruge konverteringsfaktoren 1 kg ↔ 9,81 N. Det betyder at kraften fra Jordens tyngdekraft på en person på 100 kg er:

$F_{g}=(983,8\; {\color{Red} N})\cdot \frac{1\; kg}{9,81\; {\color{Red} N}}=100,3\; kg$

Som altid, skal du spørge dig selv om resultatet giver mening eller ej. Og det gør det, 100,3 kg er meget tæt på de oplyste 100 kg. Men kan det give mening at 1 kg er ”lig med” 9,81 N? Nej, det er det ikke, og det er derfor vi har sat citationstegn omkring ”lig med” i forrige sætning. Årsagen til det tit siges, at 1 kg er lig med 9,81 N er, at på Jordens overflade, er tyngdekraftens virkning på 1 kg omkring 9,81 N. Men hvis du tager det 1 kg, til næsten et hvilket som helst andet sted i universet, og så vil tyngdekraftens virkning ikke længere være 9,81 N. For at verificere dette, kan du bruge tyngdelovsligningen til at finde den kraft, som tyngdekraften har på Jordens Måne, på en masse på Månens overflade.

Eksempel 2.1.3: Find kraften af Månens tyngdekraft, på et 1 kg objekt, på Månens overflade

Månens masse er omkring 7,35 x 10²² kg, og dens radius er omkring 1.737 km, så tyngdelovsligningen giver:

$F_{g}=G\cdot \frac{m_{1}\cdot m_{2}}{R^{2}}$

$=\left ( 6,67\cdot 10^{-11}\frac{N\cdot m^{2}}{kg^{2}} \right )\cdot \left [ \frac{(1\; kg)\cdot(7,35\cdot 10^{22}\; kg)}{(1,737\cdot 10^{6}\; m)^{2}} \right ]=1,62\; N$

hvilket svarer til omkring 17% af tyngdekraften på 1 kg på Jordens overflade. Dette resultat betyder, at 1 kg ikke er ”lig med” 9,82 N på Månens overflade. I stedet, vejer massen af 1 kg på Månen, kun cirka ¹/₆ kg.

Da 17% kg er tæt på ¹/₆ af 1 kg, er det almindeligt at sige, at du kun vejer ¹/₆ så meget på Månen, som på Jorden, eller at Månens tyngdekraft er ¹/₆ af Jordens tyngdekraft.

Det er præcis denne type af sammenligning, der nemt kan foretages ved at bruge forholdsmetoden beskrevet i kapitel 1. Hver gang du bliver bedt om at sammenligne mængder (ofte med spørgsmål som ”hvor mange gange større er…?” eller ”hvor meget stærkere er…?”), skal du overveje at bruge forholdsmetoden. Men selv når du forsøger at finde en absolut mængde, såsom tyngdekraften på en bestemt planet, kan du så længe du har en referenceværdi (såsom tyngdekraften på Jorden), stadig spare en masse tid og anstrengelser – og minimere mængden af data du behøver indtaste i regnemaskinen, og dermed mindske mulighederne for fejl – ved at bruge forhold/relationer hvor det er muligt.

Du kan finde en detaljeret beskrivelse af og motivation til anvendelse af forholdsmetoden i afsnit 1.2, men her er et kort resumé af hvordan du kan anvende det til en tyngdekraftsopgave.

Eksempel 2.1.4: Sammenlign tyngdekraften på et objekt på Jordens overflade, med tyngdekraften på det samme objekt på Månens overflade

Hvis du bruger forholdsmetoden, er det ikke nødvendigt at gennemgå processen med at finde F_g på Jorden, og derefter finde F_g på Månen, og så dividere den ene med den anden (hvis du tænker hvorfor det ofte er bedre at sammenligne mængder i astronomi ved division end ved subtraktion, så er dette også beskrevet i afsnit 1.2).

Du kan selvfølgelig godt få det korrekte resultat ved at gøre det på den måde, men du tager en masse skridt som kan undgås, ved at blive klar over, at mængderne af massen på objektet (kald den m₁) og G forbliver nøjagtig den samme i dine beregninger for begge steder (Jorden og Månen).

Ved at vente med at indsætte værdierne til allersidst, kan du se, at m₁ og G udligner hinanden.

Dette bliver nok lidt tydeligere, hvis du ser på hvad der vil ske, når du laver dette afgørende ”sammenligning ved division” skridt. Hvis du kalder Tyngdekraftens påvirkning på Jorden F_{g, Jorden} og tyngdekraftens påvirkning på Månen F_{g, Månen}, vil divisionsbrøken se således ud:

$\frac{F_{g,\; Maanen}}{F_{g,\; Jorden}}=\frac{{\color{Red} G}\frac{{\color{Red} m_{1}}\cdot m_{Maanen}}{R_{Maanen}^{2}}}{{\color{Red} G}\frac{{\color{Red} m_{1}}\cdot m_{Jorden}}{R_{jorden}^{2}}}=\frac{m_{Maanen}}{R_{Maanen}^{2}}\cdot \frac{R_{Jorden}^{2}}{m_{Jorden}}$

(2.2)

$=\left ( \frac{m_{Maanen}}{m_{Jorden}} \right )\cdot \left ( \frac{R_{Jorden}^{2}}{R_{Maanen}^{2}} \right )=\left ( \frac{m_{Maanen}}{m_{Jordenm}} \right )\cdot \left ( \frac{R_{Jorden}}{R_{Maanen}} \right )^{2}$

Når nu værdierne for Jordens og Månens masser, og deres afstande mellem deres centrums og overflader (hvilket er lig med deres respektive radiusser), så får man:

$\frac{F_{g,\; Maanen}}{F_{g,\; Jorden}}=\left ( \frac{m_{Maanen}}{m_{Jorden}} \right )\cdot \left ( \frac{R_{Jorden}}{R_{Maanen}} \right )^{2}=\left ( \frac{7,35\cdot 10^{22}\; kg}{6\cdot 10^{24}\; kg} \right )\cdot \left ( \frac{6,378\; km}{1,737\; km} \right )^{2}$

$=0,165\approx \frac{1}{6}$

Dette er det samme resultat, som du fik tidligere ved at bruge den absolutte metode til at beregne kraften af Månens tyngdekraft på en 1 kg masse, konvertere den kraft til kilogram, og endelig sammenligne det, med vægten af en 1 kg masse på Jorden (selvsagt 1 kg). Men i tilgangen med forholdsmetoden, behøvede du ikke indsætte værdien for m₁, fordi de udlignede hinanden. Med andre ord, resultatet er uafhængigt af massen m₁ – Månens tyngdekraft er en sjettedel af Jordens tyngdekraft, for et hvilket som helst objekt. Desuden, så bemærkede du, at det ikke var nødvendigt at udføre en konvertering af afstanden fra kilometer til meter. Da du havde begge afstande i kilometer, udlignede de hinanden da du dividerede dem. Så med forholdsmetoden, kan mængderne være i en hvilket som helst enhed, så længe enhederne er de samme i begge scenarier du sammenligner.

Simpliciteten af dette resultat, illustrerer dramatisk den styrke der ligger bag forholdsmetoden. For at sammenligne Månens tyngdekraft, så kig blot på ligning 2.2. Den siger, at for at sammenligne
F_{g, Månen} med F_{g, Jorden}, kan du ganske simpelt dividere Månens masse med Jordens masse, og dividere det med kvadratet på forholdet mellem Jordens radius og Månens radius. I forhold til regnemaskineoperationer, erstatter forholdsmetoden de fire værdiindtastninger, to divisioner, en opløftning til anden potens og en gange operation (8 indtastninger i alt), de ti værdiindtastninger, fem divisioner, to opløftninger til anden potens, og fire gange operationer (21 indtastninger i alt) fra den absolutte metode, og her er der endda ikke medregnet enhedskonverteringerne.

Styrken i forholdsmetoden, er endnu mere overbevisende ved opgaver, hvor du allerede har fået oplyst værdierne i forholdsform, som du kan se i følgende eksempel.

Eksempel 2.1.5: Sammenlign Jordens overfladetyngdekraft med Jupiters overfladetyngdekraft, hvis radius er 11,2 gange Jordens radius, og hvis masse er 318 gange Jordens masse

I sådan en opgave, er der ikke noget behov for at beregne tyngdekraftens styrke på en bestemt masse (m₁) på Jupiter eller på Jorden, og derefter dividere det ene resultat med det andet. Ligesom i det foregående eksempel, udligner m₁ og G hinanden, så du kan simpelthen starte med Jupiter/Jorden versionen af ligning 2.2:

$\frac{F_{g,\; Jupiter}}{F_{g,\; Jorden}}=\left ( \frac{m_{Jupiter}}{m_{Jorden}} \right )\cdot \left ( \frac{R_{Jorden}}{R_{Jupiter}} \right )^{2}=(318)\cdot \left ( \frac{1}{11,2} \right )^{2}=2,5$

eller F_{g, Jupiter} = 2,5 gange F_{g, Jorden}. Hvis man oversætter dette matematiske resultat til en sætning, betyder de, at styrken af tyngdekraften på ”overfladen” af Jupiter, er 2,5 gange stærkere end styrken af tyngdekraften på overfladen af Jorden (for at få hjælp til at fortolke forholdsresultater, se afsnit 1.2.4).

Hvis det synes mærkeligt, at styrken på tyngdekraften på overfladen af en planet der er over 300 gange mere massiv end Jorden, kun er 2,5 gange større end styrken af tyngdekraften på Jorden, så husk på 1/R²-begrebet i nævneren i Newtons tyngdelov. Fordi Jupiter er meget større end Jorden, er afstanden mellem Jupiters ”overflade” og centrum, også meget større, end afstanden fra Jordens overflade til dens centrum, og denne større afstand, kompenserer delvist for Jupiters større masse.