1.2 – Den absolutte metode og forholdsmetoden

I de første timer i astronomiundervisninger, bliver mange elever overraskede over, at brug af regnemaskine er forbudt, eller i det mindste frarådet, af deres underviser. Senere hen i undervisningen, opfordres man til at anvende regnemaskiner, eller de er måske endda krævet. Så hvad er den bedste måde at løse opgaver i astronomi på?

Som det oftest er tilfældet, er der ikke nogen metode der virker lige godt for alle. Der er imidlertid, to forskellige og grundlæggende metoder, som du sikkert vil finde brigbare. Disse to metoder, vil i denne bog blive refereret til, som henholdsvis den absolutte metode og forholdsmetoden. Og selvom hver af disse metoder kan bruges uden brug af regnemaskine, gætter vi på, at din underviser kun ønsker at i skal anvende forholdsmetoden, så vil brugen af regnemaskine være forbudt eller blive frarådet.

I denne bog vil du se, at vi anvender både den absolutte metode og forholdsmetoden i de eksempler vi giver. Dermed kan du, uanset hvilken type undervisning du får (eller hvilken metode du foretrækker at anvende), se rigeligt med relevante eksempler.

Så hvad nøjagtigt er den absolutte metode og forholdsmetoden? Det korte svar er, at den absolutte metode er en måde at fastslå den absolutte numeriske værdi af en mængde i den relevante enhed (som for eksempel en afstand på 3 meter, et tidsforløb på 15 minutter, eller en masse på 2 millioner kilogram), og forholdsmetoden er en måde at finde den enhedsløse relative værdi af en mængde (som for eksempel afstanden der er dobbelt så stor, tidsforløbet der er tre gange længere, eller en masse der er 50 gange større). For at de relative værdiger skal give mening, skal du naturligvis angive referencemængden også (dobbelt så langt som hvad, for eksempel).

1.2.1 – Den absolutte metode

Den absolutte metode, er sandsynligvis den måde du først lærte at løse opgaver på: ved at bruge en ligning med et ”lighedstegn”, få den variabel du forsøger at finde isoleret på den venstre side af ligningen, og derefter indtaste værdierne (med enheder!) på den højre side af ligningen. Så hvis du prøver at finde arealet (A) af en cirkel med en given radius (R), så kan du anvende ligningen:

$A= \pi R^{2}$

Så hvis radius (R) er 2 meter, så er arealet:

$A=(3,1416)(2\; m)^{2}=12,6\; m^{2}$

Enhederne i svaret (kvadratmeter i dette tilfælde), er direkte afledt af enhederne på variablerne på den højre side af ligningen. Bemærk, at da radiussen bliver opløftet i anden potens, skal du opløfte både værdien og enheden i anden potens, så (2 m)² giver 2² m², eller 4 m².

1.2.2 – Sammenligning af to mængder

I hverdagen, foretages sammenligninger af mængder normalt på to måder: enten ved at trække fra, eller dividere mængderne. For eksempel, hvis en by er 250 km væk fra hvor du befinder dig, og en anden by er 750 km væk fra hvor du befinder dig, så kan du sige, at den anden by er 500 km længere væk end den anden by (fordi 750 km – 250 km = 500 km). Men du kan også sige, at den anden by er tre gange længere væk fra dig end den første (fordi 750 km/250 km = 3). Begge disse udtalelser er korrekte, men hvilken af dem der er mest brugbar, afhænger af situationen. I astronomi, er værdierne på mange mængder (som for eksempel massen af på en planet, lysstyrken af en stjerne, eller afstanden mellem galakser) enorme, og fratrækning af et ekstremt stort tal fra et andet, kan lede til resultater der er usikre og svære at fortolke. I sådanne tilfælde, er en sammenligning ved division, meget mere brugbar end en sammenligning ved at trække dem fra hinanden.

For eksempel at sige, at afstanden til stjernen Rigel, er cirka 4,4 quadrillioner km (hvilket er 4,4 millioner milliader kilometer) større, end afstanden til stjernen Vega, kan være brugbar i nogle situationer, men at sige at stjernen Rigel er omkring 31 gange længere væk end Vega, er mere brugbar til at give en opfattelse af skalaen (og det er nemmere at huske). Det er selvfølgelig altid muligt at konvertere forskellen i værdier til forholdsmetoden, og omvendt, forudsat du har den rigtige referenceinformation (for eksempel afstanden til Vega). Men siden det er nemmere blot at lave en sammenligning i stedet for begge to, vil det bedste råd være, at bruge forholdsmetoden, med mindre der specifikt siges du skal bruge den absolutte metode.

Det er det praktiske ved denne ”sammenligning ved division” idé, der gør forholdsmetoden så anvendelig i astronomien.

Eksempel 1.2.1: Sammenlign arealet af den cirkel du stiftede bekendtskab med i afsnit 1.2.1 (kald den cirkel 1), med en anden cirkel (kald denne cirkel 2), med en radius tre gange større (så R = 6 meter for cirkel 2)

Hvis du vil vide hvor mange gange større areal cirkel 2 har, sammenlignet med cirkel 1, kan du bruge den absolutte metode og beregne arealet af hver cirkel separat:

$A_{1}=\pi R_{1}^{2}=(3,1416)(2\; m^{2})=12,6\; m^{2}$

$A_{2}=\pi R_{2}^{2}=(3,1416)(6\; m^{2})=113,1\; m^{2}$

For at sammenligne disse to arealer for sammenligning, vil du skulle gøre dette:

$\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{113,1\; m^{2}}{12,6\;m^{2}}=8,98\approx 9$

så arealet af cirkel 2 er omkring ni gange større end arealet af cirkel 1.

Du kunne også have taget A₁/A₂, i hvilket tilfælde du ville have fået:

$\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{12,6\; m^{2}}{113,1\;m^{2}}=\frac{1}{8,98}\approx \frac{1}{9}$ hvilket er det samme resultat.

Bemærk, at udover at give dig svaret på spørgsmålet ”Hvor mange gange større”, giver denne absolutte metode også værdien af arealet for hver af de to cirkler (113,1 m² for cirkel 1 og 12,6 m² for cirkel 1). Men hvis du kun var interesseret i at sammenligne disse arealer, ville forholdsmetoden kunne give dig svaret meget hurtigere og nemmere.

1.2.3 – Forholdsmetoden

For at forstå hvordan sammenligning ved brug af forholdsmetoden virker, så prøv at skrive ligningerne for arealerne af cirklerne 1 og 2 fra det forrige eksempel som en funktion:

$\frac{A_{2}=\pi R_{2}^{2}}{A_{1}=\pi R_{1}^{2}}$ (1.1)

som er:

$\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{{\color{Red} \pi} R_{2}^{2}}{{\color{Red} \pi} R_{1}^{1}}=\frac{R_{2}^{2}}{R_{1}^{1}}$

eller:

$\frac{A_{2}}{A_{1}}=\left ( \frac{R_{2}}{R_{1}} \right )^{2}$ (1.2)

Se på simpliciteten af det sidste resultat: for at kende forholdet mellem areal A₂ og A₁, skal du blot finde forholdet mellem radiussen R₂ og R₁ og derefter opløfte i anden potens. Da du ved at R₂ er tre gange større end R₁, må forholdet mellem arealerne (A₂/A₁) være 9 (fordi 3² = 9). Bemærk at dette er det samme resultat, som vi fik i det foregående afsnit, ved at anvende den absolutte metode, uden at vi skulle gå gennem de trin, der var nødvendige for at bestemme værdierne af A₂ og A₁ og derefter dividere disse værdier. Forholdsmetoden gav også resultatet 9 nøjagtigt, i stedet for cirka resultatet vi opnåede ved afrundingen af p inden vi dividerede dem.

I dette eksempel, er disse ekstra trin selvfølgelig forholdsvis simple (opløfte hver radius i anden potens og gange med π), så ved at anvende forholdsmetoden, sparede du kun tre trin – en ret lille mængde arbejde. Men i andre opgaver, kan anvendelse af forholdsmetoden spare dig for mange trin, så vi opfordrer kraftigt til, at du bruger forholdsmetoden når end det er muligt. Husk, ved at mindske antallet af beregninger du skal lave når du arbejder med en opgave, mindsker også mulighederne for, at der kan opstå fejl.

Eksempel 1.2.2: Sammenlign volumenerne af to kugler, hvor den ene har en radius der er tre gange større end den anden

Som du måske kan huske fra matematik, kan en kugles volumen (V) findes, ud fra kuglens radius (R), ved hjælpe af denne formel:

$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}$

hvor volumen fremkommer i enheden kubikmeter (m³) hvis kuglens radius er i meter. Hvis du kender radiussen for hver kugle, kan du bruge den absolutte metode, til at finde volumenet af hver kugle, og så dividere den største volumen med den mindste. Så ville du kunne angive hvor mange gange større dette volumen er. Men det er at foretrække, at anvende forholdsmetoden, som i det tidligere eksempel:

$\frac{V_{2}=\frac{4}{3}\pi R_{2}^{3}}{V_{1}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}}$

og som i forrige eksempel, udligner alle de ens konstanter i tælleren og i nævneren hinanden, hvilket efterlader denne ligning:

$\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{R_{2}^{3}}{R_{1}^{3}}$ (1.3)

eller:

$\frac{V_{2}}{V_{1}}=\left ( \frac{R_{2}}{R_{1}} \right )^{3}$ (1.4)

Så for at finde forholdet mellem volumenerne, opløfter du simpelthen blot forholdet af radiusserne i tredje potens. Du ved at den største kugle har en radius der er tre gange større end den mindre, og 3³ = 27, så du kan være sikker på, at den største kugles volumen er 27 gange større.

Der er en anden måde hvorpå du kan gennemgå de matematiske trin, for at løse denne type af opgaver. Hvis kugle 2 har den største radius, så er forholdet mellem radiusserne R₂ = 3R₁. Nu, når end R₂ forekommer i ligning 1.4, kan du erstatte den med 3R₁:

$\frac{V_{2}}{V_{1}}=\left ( \frac{R_{2}}{R_{1}} \right )^{3}=\left ( \frac{3{\color{Red} R_{1}}}{{\color{Red} R_{1}}} \right )^{3}=\left ( \frac{3}{1} \right )^{3}=3^{3}=27$ (1.5)

Et kraftfuldt aspekt af forholdsmetoden er, at du kan bestemme forholdet mellem volumenerne, uden at du kender radiussen af nogle af kuglerne, så længe du kender forholdet mellem radiusserne. Så hvis den store kugle har en radius der er tre gange større end den lille kugle, så må dens volumen være 27 gange større, uanset værdierne af radiusserne. Kuglerne kunne have radiusser på 3 meter og 9 meter, eller radiusser på 100 meter og 300 meter, eller 6.000 km og 18.000 km – i hvert eneste tilfælde, hvis forholdet mellem radiusserne er 3. er forholdet mellem volumenerne 27.

1.2.4 – Tolkning af forholdsresultater

Det sidste trin i en forholdsopgave er vigtig: fortolkning af dit resultat. Mange elever finder resultatet, men ved ikke hvad de skal konkludere ud fra alt deres arbejde. Dit resultat af en forholdsopgave, tager typisk form af en ligning med to variable, et lighedstegn, og et tal, som for eksempel ligning 1.5. Du kan forstå dit resultat på en ud af to måder. For det første, kan du se på forholdet som du beregnede (V₂/V₁) og kontrollere om den numeriske ækvivalent (=27) er større elle mindre end 1. I dette tilfælde, er 27 støre end 1, så du ved at mængden i tælleren (V₂), er større end mængden i nævneren (V₁), og med hvor mange gange (27). Med andre ord, er volumen af kugle 2 27 gange større, end volumen af kugle 1. Hvis resultatet havde været mindre end 1 (som det ville have været hvis du havde fastslået at det var kugle 1 der havde den største radius), ville du have konkluderet det modsatte, at volumen af kugle 2 var mindre, som vist i dette eksempel:

Eksempel 1.2.3: Du får følgende resultat fra en forholdsberegning, ved sammenligning af to kuglers radius: R_a/R_b = ¹/₅. Hvilken kugle er den største, kugle a eller kugle b, og med hvor mange gange er den større?

Ved at se på den højre side af ligningen R_a/R_b = ¹/₅ ses, at nævneren (5) er 5 gange større end tælleren (1). Da det er sandt på den ene side, skal det også være sandt på den venstre side, så du ved at kugle b (R_b), skal være fem gange større end kugle a (R_a).

Den anden måde at fortolke et forholdsresultat på, er at udføre endnu et matematisk trin, ved at omarrangere resultatet, og herefter oversætte det til matematiske ord. Omarranger V₂/V₁ = 27, så du får V₂ = 27. Denne lille ligning er en matematisk sætning der formidler information. Den kan overføres udtryk for udtryk, til en komplet sætning af ord: ”Volumenet af kugle 2, er 27 gange større end volumenet af kugle 1”. Dette giver dig den fysiske indsigt du behøver, for at forstå hvad dit resultat betyder. Forståelsen af, og evnen til at oversætte en ligning til ord som giver mening på dit eget sprog, er en meget vigtig færdighed.

Eksempel 1.2.4: Oversæt det matematiske resultat fra det foregående eksempel til ord: R_a/R_b = ¹/₅

Først, så omarrangerer du ligningen, så du får en variabel på hver side:

$\frac{R_{a}}{{\color{Red} R_{b}}}\cdot {\color{Red} R_{b}}=\frac{1}{5}\cdot R_{b}\Rightarrow R_{a}=\frac{1}{5}R_{b}$

Nu oversætter du det udtryk for udtryk, til ord: ”Radiussen af kugle a” (R_a) ”er” (=) ”en femtedel” (¹/₅) ”af” (x, der er implicit på den højre side) ”radiussen af kugle b” (R_b). Det betyder, kugle a er en femtedel så stor, som kugle b, så kugle a er den mindste.

Bemærk, at dit resultat ville se overfladisk anderledes ud, men have sammen underliggende mening, hvis du havde valgt at omarrangere ligningen, med R_b på venstre side og R_a på højre side. For at se dette, start med at tage den reciprokke værdi på begge sider:

$\left ( \frac{R_{a}}{R_{b}} \right )=\frac{1}{5}\Rightarrow \left ( \frac{R_{a}}{R_{b}} \right )^{-1}=\left ( \frac{1}{5} \right )^{-1}\Rightarrow \left ( \frac{R_{b}}{R_{a}} \right )=\frac{5}{1}$

gang herefter begge sider med R_a for at få isoleret R_b:

$\left ( \frac{R_{b}}{{\color{Red} R_{a}}} \right )\cdot {\color{Red} R_{a}}=\left ( \frac{5}{1} \right )\cdot R_{a}\Rightarrow R_{b}=5R_{a}$

Oversæt dette udtryk for udtryk, til en komplet sætning af ord: ”Radiussen af kugle b, er fem gange så stor som radiussen af kugle a”. At sige at kugle b er fem gange større end kugle a, er matematisk det samme, som at sige at kugle a er en femtedel af størrelsen på kugle b. Begge sætninger gør det klart, at a er den mindre kugle, og at b er større med en faktor fem. Så det er ligegyldigt hvordan, du vælger at omarrangere dit resultat inden oversættelsen, fordi du vil få et ens resultat af sætningens betydning.

1.2.5 – Proportionalitetsforhold

I mange astronomitekster antager forfatteren, at du vil anvende forholdsmetoden til løsning af nogle af opgaverne, så du kan støde på forhold skrevet på denne måde:

C_cirkel ∝ R	(1.6)
A_cirkel ∝ R²
V_kugle ∝ R³
L ∝ R²T⁴

I hvilket tilfælde, symbolet µ betyder ”er proportional til”. Når du ser sådan en relation er det meget vigtigt, at du forstår, at du ikke simpelt bare kan erstatte µ symbolet med et ”lighedstegn”. Proportionalitetsforhold betyder i stedet, at en værdi er lig med en eller flere konstanter, gange den anden værdi, hvor konstanterne ikke er specificeret. De fire eksempeludtryk herover, stammer fra følgende ligninger:

$C_{cirkel}=2\pi R^{2}$	(1.7)
$A_{cirkel}=\pi R^{2}$
$V_{kugle}=\frac{4}{3}\pi R^{3}$
$L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}$

Ved at sammenligne ligningerne 1.6 og 1.7, kan du nemt se forskellen: I proportionalitetsforhold, er alle konstanterne (tal, fysiske eller matematiske konstanter med faste værdier såsom p og s) blevet udeladt. Så det første forhold i ligningerne i 1.6, siger ikke at omkredsen af en cirkel er lig med cirklens radius, den siger at omkredsen er proportional med radiussen (hvilket betyder, at omkredsen er lig med en konstant gange radiussen, hvor konstanten i dette tilfælde er 2p). Dette er meget brugbart, hvis du skal sammenligne omkredsen af to cirkler, ved at bruge forholdsmetoden, men du kan ikke bruge et sådan forhold, til at finde den matematiske værdi af cirklens omkreds.

Du undrer dig måske over, hvad proportionalitetsforhold egentlig kan bruges til, i lyset af at alle konstanterne er udeladt. Du kan forstå svaret på det spørgsmål, ved at betragte ligningerne 1.1 og 1.3. I disse forhold, er alle konstanterne i tælleren, identiske med dem i nævneren, da det er den samme ligning der er underliggende for begge, og derfor udligner de hinanden. Så så længe alle konstanterne udligner hinanden når du opstiller forholdsligningen, er der ikke noget behov for at inkludere disse konstanter alligevel. Dette betyder, at du kan bruge proportionalitetsforholdet på nøjagtig samme måde, du brugte forholdsligningerne.

For eksempel, kig på proportionalitetsforholdet for cirklerne med omkredsen C₁ og C₂:

$\frac{C_{2}\propto R_{2}}{C_{1}\propto R_{1}}$

Husk, at proportionalitetssymbolet (∝), betyder ”lig med en konstant gange”, hvor værdien af konstanten ikke er specificeret. Når du løser forholdsberegninger, kan konstanten(erne) gives en hvilken som helst betegnelse du vælger, såsom ”u”:

$\frac{C_{2}=uR_{2}}{C_{1}=uR_{1}}$

Bogstavet du vælger til at betegne konstanten med har ikke nogen betydning, fordi konstanten udlignes når forholdet beregnes:

$\frac{C_{2}}{C_{1}}=\frac{{\color{Red} u}R_{2}}{{\color{Red} u}R_{1}}\Rightarrow \frac{C_{2}}{C_{1}}=\frac{R_{2}}{R_{1}}$

det betyder, at forholdet mellem omkredsen på to cirkler, er lig med forholdet mellem deres radiusser. Så hvis du fordobler radiussen af en cirkel, fordobles dens radius også. Dette er et eksempel på direkte proportionalitet: når en mængde bliver større med en faktor, bliver den anden mængde tilsvarende større med den samme faktor. På samme måde, hvis en mængde bliver mindre med en faktor, bliver den anden mængde tilsvarende mindre med samme faktor.

I astronomi, vil du opleve mange eksempler på proportionalitetsforhold i hvilke, en eller flere variabler er opløftet til en potens, som for eksempel udtrykker ”R” i de sidste tre eksempler i ligningerne i 1.6. I sådanne tilfælde, er det ikke korrekt at sige at mængden på den venstre side af ∝ symbolet, er proportional med R. I stedet skulle du sige ”Arealet af en cirkel, er proportional med R²”, hvilket betyder, at fordobler du radiussen af en cirkel, fordobles arealet ikke kun, det øges med en faktor på fire (fordi 2² = 4). På samme måde, er den korrekte udtalelse i forhold til en kugles volumen og radius at ”En kugles volumen, er proportional med R³”. Så hvis du fordobler radiussen på en kugle, stiger kuglens volumen ikke med en faktor på 2, men med en faktor på 8 (fordi 2³ = 8).

Selvom proportionalitetsforhold som indeholder mængder opløftet i en potens, kræver større årvågenhed, har opstillingen af forhold mellem sådanne relationer, samme fordele (udligning af konstanter), som vi har set tidligere. For at se hvordan det virker, opstil proportionalitetsforholdet for arealet af to cirkler:

$\frac{A_{2}\propto R_{2}^{2}}{A_{1}\propto R_{1}^{1}}$

Nu, kan vi omdanne proportionalitetsforholdet til ligninger, ved eksplicit at opstille proportionalitetskonstanten, som vi vælger at kalde ”w” (husk, at når du opstiller proportionalitetsforhold, kan du betegne konstanterne lige det du vil):

$\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{{\color{Red} w}R_{2}^{2}}{{\color{Red} w}R_{1}^{2}}\Rightarrow \left ( \frac{R_{2}}{R_{1}} \right )^{2}$

Så proportionalitetsforholdet, giver nøjagtig det samme resultat som det vi fik, ved at anvende forholdsligningerne.

Eksempel 1.2.5: Sammenlign volumenerne af to kugler, hvor den ene har en radius fem gange større end den anden

Fra ligningerne i 1.6, ved du at V ∝ R³. Ved at skrive denne relation som en ligning med proportionalitetskonstanten ”s”, og sammenligne de to kugler (lad os kalde dem kugle 1 og 2), ved division af ligningerne, får vi:

$\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{{\color{Red} s}R_{2}^{3}}{{\color{Red} s}R_{1}^{3}}\Rightarrow \left ( \frac{R_{2}}{R_{1}} \right )^{3}$

Siden du ved, at den ene af kuglerne (lad os sige kugle 2), har en radius der er fem gange den anden, kan du bruge den matematiske erstatning R₂ = 5R₁. Ved at indsætte 5R₁ ind i ligningen for R₂ og reducere udtrykket, får du:

$\frac{V_{2}}{V_{1}}=\left ( \frac{5{\color{Red} R_{1}}}{{\color{Red} R_{1}}} \right )^{3}\Rightarrow \left ( \frac{5}{1} \right )^{3}=5^{3}=125$

Det betyder, at en kugle med fem gange større radius, har et volumen der er 125 gange større.

1.2.6 – Omvendte proportionalitetsforhold

En omvendt proportionalitet, betyder at relationen er vendt om: Som en mængde bliver større, bliver den anden mængde mindre. For eksempel relationen mellem bølgelængden (λ) og frekvensen (f) for lys er omvendt proportionale. Dette repræsenteres matematiske som λ ∝ 1/f, eller ækvivalent som f ∝ 1/λ. Denne relation vil vi kigge nærmere på i afsnittet 3.1; her er et eksempel på hvordan man bruger en sådan relation.

Eksempel 1.2.6: Bølgelængden og frekvensen for lys, er omvendt proportionale. Rødt synligt lys har en bølgelængde der er 75% større end blåt synligt lys. Hvordan sammenlignes deres frekvenser?

Siden λ og f er omvendt proportionale, kan du forudsige resultatet kvalitativt: siden rødt lys har en større bølgelængde, må det have en mindre frekvens – dette er essensen i et omvendt proportionalitetsforhold. For at være mere kvantitativ, kan du opstille den omvendte relation som en ligning:

$f\propto \frac{1}{\lambda}\; \; eller\; \; f=c\cdot \frac{1}{\lambda}=\frac{c}{\lambda}$

Sammenlign nu rødt og blåt lys, ved at dividere deres ligninger:

$\frac{f_{r\o d}}{f_{blaa }}=\frac{\frac{{\color{Red} c}}{\lambda_{r\o d}}}{\frac{{\color{Red} c}}{\lambda_{blaa}}}=\frac{\frac{1}{\lambda_{r\o d}}}{\frac{1}{\lambda _{blaa}}}=\frac{1}{\lambda _{r\o d}}\cdot \frac{\lambda _{blaa}}{1}=\frac{\lambda_{blaa}}{\lambda_{r\o d}}$

Oversæt derefter informationen som du har fået i opgaven, til en matematisk relation: ”Bølgelængden for rødt lys, er 75% større end bølgelængden for blåt lys”. Det betyder, at λ_rød er 75% mere end 100% af λ_blå (fordi 100% ville betyde at de er det samme). Derfor er forholdet λ_rød = 175% x λ_blå. Når man indsætter dette i ligningen ovenover, får man:

$\frac{f_{r\o d}}{f_{blaa}}=\frac{{\color{Red} \lambda_{blaa}}}{1,75 {\color{Red} \lambda_{blaa}}}=\frac{1}{1,75}=0,571$

så bølgelængden af rødt lys, er omkring 57% af den for blåt lys. Dette er i overensstemmelse med forudsigelsen af, at rødt lys må have en mindre frekvens.

Adskillige eksempler på omvendt proportionalitet forekommer i denne bog. Et eksempel er tyngdekraften mellem to objekter, der er omvendt proportional med afstanden i anden potens, mellem de to objekters centrum:

$F_{g}\propto \frac{1}{R^{2}}$

(1.8)

i hvilket tilfælde F_g repræsenterer tyngdekraften, og R repræsenterer afstanden mellem objekternes centrum.

Eksempel 1.2.7: Hvordan ændres tyngdekraften mellem to objekter, hvis afstanden mellem dem fordobles?

Ved at opstille proportionalitetsforholdet i ligning 1.8, som en ligning med proportionalitetskonstanten ”z” for både den fjerne og nære afstand, får vi:

$F_{g,\; fjern}=z\cdot \frac{1}{R_{fjern}^{2}}=\frac{z}{R_{fjern}^{2}}$

$F_{g,\; n\ae r}=z\cdot \frac{1}{R_{n\ae r}^{2}}=\frac{z}{R_{n\ae r}^{2}}$

som kan sammenlignes ved division:

$\frac{F_{g,\; fjern}}{F_{g,\; n\ae r}}=\frac{\frac{z}{R_{fjern}^{2}}}{\frac{z}{R_{n\ae r}^{2}}}=\frac{1}{R_{fjern}^{2}}\cdot \frac{R_{n\ae r}^{2}}{1}=\frac{R_{n\ae r}^{2}}{R_{fjern}^{2}}=\left ( \frac{R_{n\ae r}}{R_{fjern}} \right )^{2}$

Da objekterne fordobler afstanden til hinanden, kan vi skrive R_fjern = 2R_nær. Ved at erstatte dette i ligningen herover, får vi:

$\frac{F_{g,\; fjern}}{F_{g,\; n\ae r}}=\left ( \frac{{\color{Red} R_{n\ae r}}}{2{\color{Red} R_{n\ae r}}} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}$

hvilket betyder, at hvis du fordobler afstanden mellem to objekter, vil tyngdekraften mellem den, falde til en fjerdedel af dens tidligere styrke. Denne type af matematisk relation, hvor en mængde er omvendt proportional med kvadratet på afstanden, kaldes også en ”omvendt kvadratlov”, og er almindelig i fysik. I denne bog, vil du finde sådanne relationer, i kapitlerne 2.1 og 5.2.