Et af det mest kraftfulde værktøjer du kan bruge i løsning af opgaver og i gennemgang af dine løsninger, er konsekvent at anvende enheder i dine beregninger. Som du måske har bemærket, er en af de første ting fysik- og astronomiundervisere kigger efter når de retter de elevers opgaver, er om enhederne for svaret giver mening. Elever der bliver dygtige til opgaveløsning, udvikler som regel selv en vane til at tjekke enhederne selv.
Forståelsen af enheder er vigtig, ikke kun i videnskab, men også i dagligdagen. Det er fordi enhederne der er allevegne omkring dig, giver en mening for det tal der står foran dem. At firtælle nogen ”Jeg har et dusin”, giver ingen mening. Et dusin hvad? Boller? Minutter tilbage at leve i? Ægtefæller? Hvis du har et håb om at kommunikere information omkring mængder til andre, er tal alene utilstrækkelige. Næsten alle tal skal have en enhed, for at definere dets mening. Så en rigtig god vane til at blive dygtig, er at altid inkludere enhederne for ethvert tal du skriver ned.
Tal er i sagens natur ”enhedsløse”. Som et eksempel på et sådan tal, forestil dig hvad der sker, når du dividerer Solens masse (1 · 1030 kg) med massen på Jorden (6 · 1024 kg) for at sammenligne deres værdier. Resultatet af denne division, er cirka 333,333. Ikke 333,333 kg, bare 333,333, fordi enhederne i tæller og nævner udligner hinanden, som vi vil forklare senere i dette afsnit. Denne enhedsudligning sker, hver gang du dividerer to tal med de samme enheder, så du vil se adskillige enhedsløse tal, i afsnit 1.2 i dette kapitel.
At holde styr på enhederne, er det første vigtige skridt, i løsningen af astronomiopgaver, og kendskabet til, pålideligt, at kunne konvertere mellem forskellige enheder, er et meget tæt andet skridt. Når du rejser til et andet land som bruger en anden valuta, lærer du vigtigheden af enhedskonvertering. Hvis du besøger en restaurant der sælger et måltid for 500 rupees, er det så en god pris? Du er nødt til at foretage en enhedskonvertering, for at finde ud af det. Og for at foretage den konvertering, har du brug for to ting: (1) en konverteringsfaktor mellem valutaer, som den vist i figur 1.1; og (2) kendskab til hvordan du anvender konverteringsfaktoren.
For at forstå enhedskonverteringsprocessen, er det bedst at starte med nogle simple eksempler fra hverdagen, fordi du sandsynligvis har en intuitiv forståelse for, hvordan sådanne enhedskonverteringer skal udføres. For eksempel, hvis en film varer 2 timer, så ved du at det er 120 minutter, fordi der er 60 minutter på 1 time. Men tænk over processen du anvendte til at konvertere timer til minutter: du gangede intuitivt 2 timer med 60 minutter for hver time.
Desværre, bliver enhedskonvertering mindre intuitiv, når du har med enheder at gøre der er mindre kendte for dig, eller når du anvender store tal, der ikke lige kan udregnes i hovedet. I sådanne tilfælde, vælger nogle elever at gætte, om de skal gange eller dividere den oprindelige mængde med konverteringsfaktoren. Efter en kort gennemgang af konverteringsfaktorer, vil vi vide dig en fejlsikker metode, til opsætning af enhver enhedskonverteringsopgave, som vil sikre at du altid ved om du skal gange eller dividere.
1.1.1 – Konverteringsfaktorer
Så hvad nøjagtigt er en konverteringsfaktor? Den er blot en angivelse af ligeværdien mellem udtryk med forskellig enheder, og den angivelse lader dig konvertere mellem de enheder i begge retninger. Hvordan kan to udtryk med forskellige tal være lige? Afstanden på 1 meter, er nøjagtig den samme som afstanden 100 cm. Så det er den underliggende mængde der er den samme, og den mængde er repræsenteret ved en kombination af tallet og enheden.
Det betyder, at en konverteringsfaktor altid er en angivelse af, at et tal med en enhed, er det samme som et andet tal med en anden enhed. Konverteringsfaktorer skrives typisk på en ud af to måder: enten som en ligeværdi-relation eller en brøk. For eksempel er 1 tomme lig med 2,54 cm, 60 minutters tid er lig med 1 time, og den astronomiske afstandsenhed 1 parsec (pc) er lig med 3,26 lysår (ly). Hver af disse konverteringsfaktorer, kan udtrykkes som en ligeværdi-relation, hvor vi bruger en dobbeltrettet pil til at angive:
For nemheds skyld. Vælges et af tallene i en konverteringsfaktor ofte til at være 1, men det behøver ikke være sådan. For eksempel er 3 tommer ↔ 7,62 cm en helt valid konverteringsfaktor.
Det er bekvemt at repræsentere en konverteringsfaktor som en brøk, med en enhed og dens korresponderende værdi som tæller og det andet sæt af enhed og korresponderende værdi som nævner. Hvis du repræsenterer de ovennævnte konverteringsfaktorer som brøker, får du:
Fordi de to værdier i konverteringsfaktoren skal repræsentere den samme mængde, skaber repræsentationen af dem som en brøk, en tæller og en nævner der er lige, og derfor er den iboende værdi af brøken 1. Du kan gange andre værdier med denne brøk med straffrihed, fordi det at gange en mængde med 1, ikke ændrer på mængden – men den ændrer udseendet af den. Dette er målet med enhedskonvertering: at ændre enhederne i hvilken en mængde er udtrykt, mens man bibeholder den underliggende fysiske mængde.
1.1.2 – Opstilling af en konverteringsopgave
Det forrige afsnit forklarer hvorfor enhedskonvertering virker; her er en fejlsikker metode til at gøre det:
- Find den konverteringsfaktor som indeholder begge enheder – enheden du får oplyst, og enheden som du ønsker at konvertere til.
- Skriv udtrykket du har fået i de originale enheder, efterfuldt af et ”x” symbol, efterfulgt af den relevante konverteringsfaktor på brøkformen.
- Gang alle tallene og alle enhederne i det oprindelige udtryk, med tallene og enhederne i konverteringsfaktoren. Ved at gruppere tal og termer, kan du behandle dem separat, hvilket gør dette trin nemmere.
Du kan se denne metode i brug, i eksemplet herunder:
Eksempel 1.1.1: Konverter 1.000 minutter til timer.
Brøkformen af den relevante konverteringsfaktor (det vil sige den konverteringsfaktor der indeholder både timer og minutter) er:
Men hvordan ved du hvilken af disse to du skal bruge? Begge er korrekte konverteringsfaktorer, men kun den ene vil hjælpe dig med at løse opgaven direkte.
For at vælge den korrekte konverteringsfaktor, kig på de originale enheder som du får oplyst. Hvis disse enheder står alene (som enheden minutter i 1.000 minutter gør), brug den konverteringsfaktor med den enhed som du ønsker at komme af med i nævneren. På den måde, vil enhederne du vil af med udlignes, når du ganger, og kun den enhed du ønsker, vil stå tilbage. Dette virker fordi, du kan udligne enheder der optræder i både tæller og nævner i en brøk, på samme måde som du udligner numeriske faktorer.
I dette eksempel, hvor de enheder du får oplyst (minutter) står alene, og du ønsker at konvertere til enheden timer, er den korrekte form af konverteringsfaktoren, den som har minutter i nævneren og timer i tælleren. Men den konverteringsfaktor i hænde, er du klar til at nedskrive den oprindelige mængde, og gange med konverteringsfaktoren. Her er hvordan det ser ud, med konverteringsfaktoren i en anden farve:
For at simplificere denne ligning, hjælper det at se, at der er en implicit multiplikation mellem hvert tal og dets enhed, og huske på at multiplikation er kommutativ – så du kan omarrangere rækkefølgen af termer i både tæller og nævner. Det lader dig gange de numeriske dele sammen, og enhederne sammen, og enhederne der optræder både i toppen og i bunden. Så kan du simplificere tallene og udtrykke dit svar i hvad end enhed, der bliver tilbage:
Så en tidsværdi på 1.000 minutter, repræsenterer den samme værdi af tid, som 16,7 timer.
Her er et andet eksempel som anvender de almindelige astronomiske afstandsenheder parsec og lysår:
Eksempel 1.1.2: Konverter 1,29 parsec, der er afstanden til den nærmeste stjerne foruden Solen, til lysår.
I de fleste astronomitekster, vil du finde konverteringsfaktoren mellem parsec og lysår oplyst som 3,26 ly ↔ 1 pc, eller som ækvivalenten 0,3067 pc ↔ 1 ly.
I dette tilfælde, siden enheden du får oplyst, parsec, står alene, har du behov for konverteringsfaktorbrøken med parsec i nævneren og lysår i tælleren. Ved at anvende den faktor, vil den beregning se således ud, igen med konverteringsfaktoren i en anden farve:
Bemærk at den oprindelige mængde af 1,29 pc, kan skrives som en brøk for at minde dig om, at gange værdierne i både tælleren og nævneren. Resultatet af denne enhedskonvertering fortæller dig, at 4,21 lysår repræsenterer den samme afstand, som 1,29 parsec. Det tager derfor lyset fra Solens nærmeste nabostjerne (en stjerne kaldet Proxima Centauri), mere end 4 år at nå frem til Jorden.
Som en yderligere fordel ved denne metode til enhedskonvertering, hjælper den dig med at fange eventuelle fejl. Lad os se hvad der sker, hvis du fejlagtigt kom til at vælge den forkerte konverteringsfaktor; enhederne i dit resultat, ville ikke give nogen mening.
Her er den forkerte opstilling af de to foregående eksempler:
og
Da disse enheder ikke er dem du forsøger at konvertere til, så ved du at du må have brugt den forkerte konverteringsfaktor.
1.1.3 – Kontrol af dit resultat
Hver gang du foretager en enhedskonvertering (eller laver andre opgaver i astronomi, eller i helt andre fag), bør du altid kontrollere at dit resultat giver mening (lave et sanity check). Du skal simpelthen spørge dig selv ”Giver mit resultat mening? Er resultatet rimeligt?”. For eksempel ved anvendelse af den forkerte konverteringsfaktorbrøk i konvertering fra minutter til timer, kan du klart se ud fra den numeriske del af dit resultat, at et eller andet gik galt. Da 60 minutter er lig med 1 time, så vil enhver mængde tid i minutter, være større end den samme mængde tid i timer. Så hvis du skal konvertere 1.000 minutter til timer og får resultatet 60.000 timer, vil antallet af minutter være mindre end antallet af timer. Det betyder at de to værdier umuligt kan være det samme, hvilket gør dig opmærksom på at der er begået en fejl et sted.
Hvis enhederne imidlertid er uden for din almindelige erfaring (som for eksempel parsec og lysår i forrige eksempel), så har du måske ikke en fornemmelse af hvad der er rimeligt eller urimeligt. Du vil dog udvikle denne fornemmelse hen ad vejen med øvelse, så husk altid at træde et skridt tilbage, og se om dit resultat virker rimeligt. Husk også, at hver gang du konverterer en større enhed (for eksempel minutter til timer), skal den numeriske del af dit resultat blive mindre (så kombinationen af tallet og enheden, repræsenterer en ligeværdi).
1.1.4 – Konvertering i flere trin
Indtil nu, har vi arbejdet med mængder som kun har enkelte enheder, såsom meter, timer, eller lysår. Men mange opgaver i astronomi involverer opgaver med flere enheder, såsom meter per sekund, eller Watt per kvadratmeter. Heldigvis virker konverteringsfaktortilgangen lige så godt for mængder med flere enheder.
Eksempel 1.1.3: Konverter fra kilometer i timen til meter per sekund.
Siden denne opgave ikke fortæller dig hvor mange km/t, kan du bruge 1 km/t. For at konvertere mængder som indeholder to enheder (kilometer og timer i dette tilfælde), kan du bruge to konverteringsfaktorer umiddelbart efterfølgende hinanden. Her er hvordan det ser ud:
Alternativt, så kunne vi have foretaget to separate konverteringer efterfulgt hinanden, såsom km/t til km/s, og derefter km/s til m/s.
Du kan også støde på tilfælde, hvor du er nødt til at dele en enkelt konvertering i flere trin. Dette kan opstå, hvis du for eksempel ikke kender den nøjagtige konverteringsfaktor direkte fra den opgivne enhed til den ønskede enhed, men du kender konverteringsfaktorerne for mellemliggende enheder. Dette illustreres i følgende eksempel:
Eksempel 1.1.4: Hvor mange sekunder gammel var du, på din 1 års fødselsdag?
Selv hvis du ikke ved hvor mange sekunder der er på et år, kan du dele opgaven i en konvertering af år til dage, og derefter dage til timer, så timer til minutter, og til sidst minutter til sekunder. Så for at konvertere mellem år og sekunder, kan du gøre følgende:
Ved at fastslå, at der er 31,5 millioner sekunder på et år, har du nu udledt en konverteringsfaktor mellem sekunder og år. Med konverteringsfaktorbrøken (31.536.000 s/1 år) ved hånden, kan du for eksempel finde antal sekunder på 30 år, i et trin:
hvilket er lige under 1 billion. Det giver dig en fornemmelse af hvor stor en billion er – du har levet i 1 million sekunder når du er omkring 11,5 dage gammel, men selv efter 30 år senere, har du stadig ikke levet i 1 billion sekunder.
1.1.5 – Konvertering af enheder med eksponenter
Sommetider når du laver en enhedskonverteringsopgave, har du brug for at konvertere en enhed der er opløftet i en potens. I disse tilfælde, skal du sikre dig at opløfte konverteringsfaktoren til samme eksponent, og tilføje denne eksponent til alle tal og enheder i konverteringsfaktoren.
Du ved allerede, at der går 10 millimeter på en centimeter. Både centimeter og millimeter er enheder for endimensionelle længder, eller lineær dimension. Kvadratcentimeter og –millimeter, er imidlertid enheder for todimensionelle overflader. Illustrationen i Figur 1.2 gør det klart, at 1 kvadratcentimeter ikke er lig med kun 10 kvadratmillimeter, men i stedet 102, eller 100 kvadratmillimeter.
For at udføre en sådan konvertering matematisk, uden at skulle tegne sådan en figur, skriver du:
Bemærk at du opløfter konverteringsfaktoren (10 mm/1 cm) i anden potens, så både værdierne og enhederne, i tælleren og nævneren bliver opløftet i anden potens.
Eksempel 1.1.5: Hvor mange kubikcentimeter (cm3) er der på 1 kubikmeter (m3)?
Du ved, at der går 100 cm på 1 meter, og at både centimeter og meter er endimensionelle enheder for længde. En kubiklængdeenhed, er imidlertid en enhed for tredimensionel volumen. Når du ganger den korrekte konverteringsfaktor, der konverterer centimeter til meter, skal du opløfte den konverteringsfaktor til tredje potens, og gøre det med alle værdier og enheder separat:
der er altså 1 million kubikcentimeter på en kubikmeter.
Eksempel 1.1.6: Konverter 9,8 m/s2 til km/t2
En konverteringsfaktor behøves for at konvertere længden fra meter til kilometer, og en anden for at konvertere tiden fra sekunder til timer. Tidskonverteringsfaktoren skal opløftes i anden potens, det skal længdekonverteringsfaktoren ikke:
1.1.6 – Sammensatte enheder
En håndfuld enheder du sandsynligvis vil støde på i astronomiundervisningen, er faktisk sammensatte enheder, hvilket betyder at de er sammensat af mere basale enheder. For eksempel enheden for kraft, newton (N), er defineret som en masse i kilogram gange en afstand i meter, divideret med kvadratroden af tiden i anden potens: 1 M = 1 kg·m/s2. Dette betyder, at når du ser enheden newton (N), kan du erstatte denne enhed med ækvivalenten, kg·m/s2, uden at ændre værdien foran enheden. Sagt på en anden måde, du kan anvende 1 N ↔ 1 kg·m/s2 til at opstille konverteringsfaktoren 1 N/kg·m/s2, eller omvendt, med hvilken du kan gange din oprindelige mængde for at opnå et nyt sæt af enheder.
Energienheden joule er et andet eksempel. Energi har dimensioner som en kraft (Si enheden newton) gange afstanden (SI enheden meter), så 1 J ↔ 1 N·m.
Som et sidste eksempel på en sammensat enhed, er enheden Watt (W), som er defineret som energi (SI enheden joule) gange tid (SI enheden sekunder). Derfor er 1 W ↔ 1 J/s.
Eksempel 1.1.7: Udtryk den sammensatte enhed Watt, som grundenhederne kilogram (kg), meter (m), og sekunder (s)
Definitionen på Watt, blev givet på forrige side: energi per tid, med SI enhederne joule persekund:
1 W ↔ 1 J/s
Men joules er også en sammensat enhed:
1 W = 1 J/s = 1 (N·m)/s,
og newton er en sammensat enhed:
1 W = 1 N·m/s = 1 (kg·m/s2)
Dette kan simplificeres til:
Dette er udtrykket for Watt i SI enhederne. Sammensatte enheder er ofte mere bekvemmelige at anvende, fordi de beholder enhederne simple og mere kompakte.